⎛
⎜
⎝
Закручивающий
момент
⎞
⎟
⎠
=
𝑚𝑔₁
𝑙
2
-
𝑚𝑔₂
𝑙
2
=
=
𝑚(𝑔₁-𝑔₂)
𝑙
2
=
𝑚𝑔
𝑠
Δ𝑔
𝑔𝑠
𝑙
2
.
(55)
Предположим, что отношение Δ𝑔/𝑔𝑠 равно максимальной величине (3⋅10⁻¹¹), не противоречащей результатам последних экспериментов, длина 𝑙 равна 0,06 м, а масса каждого груза составляет по 0,03 кг. Чему равна тогда величина результирующего закручивающего момента? Сравните эту величину с тем закручивающим моментом, который даёт бактерия (масса 10⁻¹⁵ кг), если её посадить на конец метрового стержня, уравновешенного относительно его середины в гравитационном поле Земли.
е) С Земли мы видим, как Солнце движется по небу. По прошествии 12 час расположение Солнца станет таким, как это изображено на рис. 52, б. Покажите, что в этой новой конфигурации результирующий закручивающий момент будет иметь то же численное значение, которое вы вычислили раньше, но направлен он будет теперь уже по часовой стрелке, если смотреть сверху, т.е. прямо противоположно случаю, рассмотренному в пункте (д)! Такое изменение закручивающего момента, происходящее каждые 12 час, делает возможным зарегистрировать, пользуясь крутильными весами, малую разность Δ𝑔=𝑔₁-𝑔₂ ускорений, которым подвергаются золотой и алюминиевый образцы. Так как крутильные весы подвергаются различным вибрациям, вызванным флуктуациями, движением транспорта, движениями земной коры и пр., необходимо учитывать лишь те отклонения, которые происходят в фазе с изменением положения Солнца.
ж) Действующий на стержень закручивающий момент приводит к повороту кварцевой нити на угол θ рад по формуле
Закручивающий момент = 𝑘θ
где 𝑘 — константа жёсткости нити по отношению к закручиванию. Показать, что максимальный размах поворотов крутильных весов за время одного поворота Земли вокруг оси выражается формулой
θ
полн
=
𝑚𝑔𝑠 𝑙
𝑘
Δ𝑔
𝑔
.
з) Реальный вариант крутильных весов Дикке состоит из золотого и алюминиевого грузов массой по 0,030 кг, укреплённых на концах спицы длиной 6⋅10⁻² м. Эта спица подвешивалась в вакууме на кварцевой нити, константа жёсткости которой по отношению к кручению равна 2⋅10⁻⁸ ньютон⋅м/радиан (н⋅м/рад). Статистическая обработка данных по угловым смещениям таких крутильных весов за продолжительные интервалы времени привела к заключению, что отношение Δ𝑔/𝑔 для пары золото — алюминий менее чем 3⋅10⁻¹¹. Какому среднему максимальному размаху поворотов за время одного обращения Земли вокруг оси соответствует эта величина? Случайные движения (флуктуации) крутильных весов, т.е. шумы, обладают намного большей амплитудой, и поэтому требуется статистическая обработка данных с помощью электронной вычислительной машины. ▼
36*. Долой теорию относительности!
Мистер Большой Скептик — человек образованный, логически мыслящий и даже окончивший школу. Но он выдвигает ряд возражений против теории относительности. Дайте же ответ на каждое возражение так, чтобы камня на камне от него не оставить, но при этом не критикуя его! Если хотите, составьте просто связный единый рассказ о том, как и почему физик приходит к релятивистскому миросозерцанию, и ответьте в этом рассказе на все возражения мистера Большого Скептика.
а) «Наблюдатель 𝐴 говорит, что часы отстают у наблюдателя 𝐵, тогда как 𝐵 говорит, что часы отстают у 𝐴. В этом — нарушение логики. Поэтому от теории относительности следует отказаться».
б) «Наблюдатель 𝐴 говорит, что метровые стержни наблюдателя 𝐵 укоротились, тогда как 𝐵 говорит, что укоротились метровые стержни наблюдателя 𝐴. В этом — нарушение логики. Поэтому от теории относительности следует отказаться».
в) «Теория относительности не допускает даже однозначного определения пространственных и временной координат. Поэтому всё, что утверждается в ней о скоростях (а значит, и о движении вообще), лишено смысла».
г) «В теории относительности постулируется, что свет распространяется с универсальной скоростью, не зависящей от того, в какой системе отсчёта мы исследуем его распространение. Этот постулат никак не может быть верным. Всякий здравомыслящий человек знает, что, полетев с большой скоростью в сторону, куда от него удаляется световой импульс, он тем самым снизит скорость удаления этого импульса от себя. Значит, свет не может обладать одной и той же скоростью для наблюдателей, движущихся друг относительно друга. Такое опровержение основного постулата подрывает в корне всю теорию относительности».
д) «Нет ни единого опытного подтверждения результатов теории относительности».
е) «Теория относительности не может предложить никакого способа описывать событие, не привлекая координат, и никакого способа говорить о координатах, не связывая себя с той или иной конкретной системой отсчёта. Но ведь физические события существуют независимо от какого бы то ни было выбора систем координат или выбора систем отсчёта. Таким образом, теория относительности со своими координатами и системами отсчёта не может дать полноценного описания этих событий».
ж) «Теория относительности говорит лишь о том, как мы наблюдаем события, а не о том, что реально происходит. Значит, это не научная теория, так как наука имеет своим предметом объективную реальность». ▼
Д. ПРИБЛИЖЕНИЕ МАЛЫХ СКОРОСТЕЙ
37. Эвклидова аналогия — подробный пример
Пусть угол между соответствующими осями двух повёрнутых друг относительно друга эвклидовых (декартовых) систем, θ𝑟, весьма мал. Пользуясь приведёнными в табл. 8 разложениями в ряды, найдите приближённый вид формул преобразования, связывающих значения координат некоторой данной точки в этих двух системах. Пренебрегите степенями θ𝑟 выше первой.
Решение. При малых θ𝑟 табл. 8 даёт
sin θ
𝑟
≈
θ
𝑟
,
cos θ
𝑟
≈
1,
Поэтому формулы преобразования в эвклидовой геометрии, обратные формулам (29), приобретают вид
𝑥'
=
𝑥 cos θ
𝑟
-
𝑦 sin θ
𝑟
≈
𝑥-θ
𝑟
𝑦
,
𝑦'
=
𝑥 sin θ
𝑟
+
𝑦 cos θ
𝑟
≈
θ
𝑟
𝑥+𝑦
.
(56)
Эти приближённые формулы преобразования могут быть сделаны сколь угодно точными, для чего достаточно взять соответственно малый угол θ𝑟.
38. Преобразование Галилея
Предположим, что величина β𝑟 весьма мала. Тогда β𝑟=th θ𝑟≈θ𝑟. Пользуясь приведёнными в табл. 8 разложениями в ряды и пренебрегая степенями θ𝑟 выше первой, покажите, что формулы преобразования Лоренца принимают вид (β𝑟≪1)
𝑥'
=
𝑥-β
𝑟
𝑡
(57)
