Δ
𝑥
=
Δ
𝑥' ch θ
𝑟
-
Δ
𝑡' sh θ
𝑟
,
Δ
𝑡
=
-
Δ
𝑥' sh θ
𝑟
+
Δ
𝑡' ch θ
𝑟
,
Δ
𝑦
=
Δ
𝑦',
Δ
𝑧
=
Δ
𝑧'.
(42)
Новый метровый стержень покоится в лабораторной системе отсчёта. Если смотреть из системы отсчёта ракеты, он находится в движении. Поэтому при определении его длины в системе отсчёта ракеты мы должны исходить из двух отправных точек в этой системе, а именно из положений концов нашего метрового стержня в один и тот же момент времени в системе отсчёта ракеты. Итак, Δ𝑡'=0. Первое из соотношений (42) сразу же даёт
Δ
𝑥'
=
Δ𝑥
ch θ𝑟
=
Δ
𝑥
⋅
√
1-β
𝑟
²
.
(43)
Длина, зарегистрированная в системе отсчёта ракеты, короче одного метра, если метровый стержень покоится относительно лаборатории, что и требовалось доказать.
10. Замедление хода часов
Пусть часы движутся вместе с ракетой (рис. 38) и наблюдаются из лабораторной системы отсчёта (лабораторная решётка стержней и часов). В чём будет состоять отличие заключений наблюдателя в лаборатории относительно времени, показываемого движущимися часами, от того, что предсказывала дорелятивистская физика? Разобьём этот вопрос на 4 части.
Рис. 38. Способ сравнивать показания одних часов на ракете с показаниями нескольких лабораторных часов.
а) Как этот вопрос о ходе времени может быть переформулирован в вопрос о разделении двух событий?
б) Пусть между двумя событиями, выбранными в части (а), часы на ракете отсчитали 1 м светового времени, т.е. в системе отсчёта ракеты зарегистрирован интервал времени Δ𝑡'=1 м. Покажите, что соответствующий промежуток времени, зарегистрированный в лабораторной системе отсчёта, определяется соотношением
Δ
𝑡
=
Δ
𝑡'
⋅
ch
θ
𝑟
=
Δ𝑡'
√1-β𝑟²
.
(44)
Этот промежуток времени превышает 1 м светового времени. Такое удлинение называется замедлением хода часов (замедлением времени).
в) Как можно согласиться с выводом, полученным в части (б), о том, что 1 м времени, прошедший в системе отсчёта ракеты, оказывается больше, чем 1 м времени для наблюдателя в лаборатории? Не позволит ли этот вывод различать, исходя из физических законов, систему отсчёта ракеты (в которой часы идут с их стандартной скоростью) и лабораторную систему отсчёта (где те же самые часы отстают)? Не будет ли, таким образом, этот вывод противоречить принципу относительности (разд. 3), на котором основана вся теория относительности?
г) Пойдём ещё дальше и покажем, что 1 м времени, прошедший по часам, покоящимся в лабораторной системе отсчёта (Δ𝑡=1 м), будет зарегистрирован как интервал времени больше одного метра наблюдателями в системе отсчёта ракеты согласно формуле
Δ
𝑡'
=
Δ
𝑡
ch
θ
𝑟
=
Δ𝑡
√1-β𝑟²
.
(45)
Каким образом этот вывод подтверждает симметрию между обеими системами отсчёта (ракеты и лаборатории), требуемую принципом относительности? ▼
11. Относительная синхронизация часов
а) Покажите, что если два события происходят одновременно и в одном и том же месте в лабораторной системе отсчёта, они будут одновременными в системе отсчёта любой ракеты. Покажите, что если два события происходят одновременно, но не в одной и той же точке на оси 𝑥 в лабораторной системе отсчёта, они не будут наблюдаться как одновременные ни в одной системе отсчёта ракеты. Тот факт, что движущиеся относительно друг друга наблюдатели не всегда будут соглашаться друг с другом, одновременны или нет два события, носит название относительности одновременности.
б) Два события происходят одновременно и имеют одно и то же значение координаты 𝑥 в лабораторной системе отсчёта, но разница в значениях координат 𝑦 и 𝑧 для них равна Δ𝑦 и Δ𝑧. Покажите, что эти два события будут одновременными и в системе отсчёта ракеты.
в) Пользуясь формулами преобразования Лоренца, покажите, что в момент 𝑡=0 в лабораторной системе отсчёта часы в системе отсчёта ракеты на положительной части оси 𝑥 оказываются позади лабораторных часов, а на отрицательной части оси 𝑥 — впереди лабораторных часов, причём разница во времени, показываемом часами в лабораторной системе отсчёта и системе ракеты, возрастает по мере удаления от начала координат по закону
𝑡'
=-
𝑥sh θ
𝑟
=
-𝑥
β𝑟
√1-β𝑟²
.
(46)
г) Пользуясь формулами преобразования Лоренца, покажите, что в момент 𝑡'=0 в системе отсчёта ракеты часы в лабораторной системе отсчёта на положительной части оси 𝑥 оказываются впереди часов ракеты, а на отрицательной части оси 𝑥 — позади часов ракеты, причём разница во времени, показываемом часами в системе отсчёта ракеты и в лабораторной системе, возрастает по мере удаления от начала координат по закону
𝑡'
=+
𝑥'sh θ
𝑟
=
+𝑥'
β𝑟
√1-β𝑟²
.
(47)
Тот факт, что никто из двух наблюдателей, движущихся относительно друг друга, не согласится, что время опорного события и времена, когда все часы в системе отсчёта другого наблюдателя показывают нулевой момент, одновременны, носит название относительной синхронизации часов.
д) Казалось бы, что разные знаки в законах (46) и (47) приводят к асимметрии между системами отсчёта, позволяющей провести различие между этими системами, что противоречило бы принципу относительности. Покажите, что если наблюдатель в каждой системе отсчёта ориентирует положительное направление своей оси 𝑥 в направлении движения другой системы относительно него, то все физические измерения, связанные с синхронизацией часов, дадут в каждой системе совершенно тождественные результаты. Иначе говоря, системы отсчёта нельзя различить с помощью и этого метода. Разница в знаках в приведённых выше уравнениях вызвана произвольным (и асимметричным) выбором общего для обеих осей 𝑥 положительного направления.
е) Полученные выводы иногда выражаются в виде утверждения, что «наблюдатель на ракете обнаруживает рассинхронизированность разных лабораторных часов между собой». Объясните, в чём ошибочность этой формулировки. Покажите, что для необходимых при этом измерений недостаточно одного-единственного наблюдателя на ракете. Как выразить полученные выше выводы безупречно корректно, чётко и ясно (хотя бы это оказалось значительно длиннее!)? ▼
12. Эвклидовы аналогии
а) Пусть в плоскости 𝑥𝑦 эвклидовой системы координат лежит прямой стержень. Начертите диаграмму, изображающую этот стержень в плоскости 𝑥𝑦; постройте проекции стержня на оси 𝑥, 𝑦 и 𝑥', 𝑦'. Разберите аналогию между различием в значениях 𝑥-компонент длины стержня, измеренных в двух повёрнутых относительно друг друга эвклидовых системах координат, и различием в длине движущегося стержня, наблюдаемого в лабораторной системе отсчёта, и покоящегося в системе ракеты стержня.
