б) Пусть метровый стержень ориентирован вдоль оси 𝑥 (направления движения) ракеты, так что в системе отсчёта ракеты расстояние между его концами равно Δ𝑥'=1 м. Чему будет равна его наблюдаемая длина в лабораторной системе отсчёта?
Решение. Искомая длина —это разделение в пространстве пары событий 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе отсчёта:
Δ
𝑥
=
Δ𝑥'
ch θ𝑟
=
Δ
𝑥'
⋅
√
1-β
𝑟
²
.
(38)
Эта длина меньше 1 м. Такое укорачивание называется лоренцевым сокращением. Обсуждение. Преобразование Лоренца (37) связывает между собой разности координат событий в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты:
Δ
𝑥'
=
Δ
𝑥 ch θ
𝑟
-
Δ
𝑡 sh θ
𝑟
,
Δ
𝑡'
=
-
Δ
𝑥 sh θ
𝑟
+
Δ
𝑡 ch θ
𝑟
,
Δ
𝑦'
=
Δ
𝑦,
Δ
𝑧'
=
Δ
𝑧.
(39)
Наши события одновременны в лабораторной системе отсчёта (Δ𝑡=0). Отсюда Δ𝑥'=Δ𝑥 ch θ𝑟, что и даёт приведённый ответ. Заметим, что Δ𝑡' не равняется нулю, т.е. события 𝐴 и 𝐵 не одновременны, если их рассматривать в системе отсчёта ракеты. Эта разница во времени между двумя событиями на концах метрового стержня не вызывает недоумения у работников на ракете относительно значения длины их метрового стержня: для них он покоится, и длина его 1 м. Их не удивляет и тот факт, что наблюдатели в лаборатории регистрируют укорочение этой длины («лоренцево сокращение»). Они скажут: «А почему бы и нет? Ведь наблюдатели в лаборатории измеряют положения концов метрового стержня во времена 𝑡𝐴' и 𝑡𝐵', а мы знаем, что эти времена различны. Интересно, как бы им удалось при этом заключить, что длина равна 1 м?»
в) Пусть метровый стержень направлен вдоль оси 𝑦 (перпендикулярно направлению движения) в системе отсчёта ракеты, так что расстояние между его концами в этой системе равно Δ𝑦'=1 м. Чему равна длина стержня, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта?
Решение. Длина есть величина пространственного удаления друг от друга двух событий (𝐴 и 𝐵) лабораторной системе; при этом
Δ
𝑦
=
Δ
𝑦'
.
Эта длина равна 1 м. В направлениях, перпендикулярных движению, размеры тел не сокращаются. Обсуждение. Отметим, что оба события теперь одновременны не только в лабораторной системе отсчёта (Δ𝑡=0), но и в системе отсчёта ракеты (Δ𝑡'=0), согласно соотношениям (39). Для работников на ракете поэтому нет ничего странного в том, что наблюдатели в лаборатории будут согласны с ними относительно длины метрового стержня.
г) Вернёмся ещё раз к вопросу (б). Как можно принять тот вывод, что метровый стержень, летящий с ракетой, представляется короче одного метра длины в лаборатории находящимся там наблюдателям? Если бы этот вывод был верен, не получили бы мы возможности различать по физическим законам систему отсчёта ракеты (в которой метровые стержни сохраняют свою стандартную длину) от лабораторной системы отсчёта (где те же самые стержни регистрируются как укороченные)? Но если это так, то не разрушает ли логика рассуждений теории относительности того принципа, который лежит в её же основе? Этот принцип утверждает, что между двумя инерциальными системами отсчёта нельзя провести никаких различий на основании физических наблюдений в этих системах? Но разве мы не обнаружили в высшей степени замечательное физическое различие между такими двумя системами?
Рис. 36. Поле, простирающееся на большее расстояние в направлении 𝑥, чем в направлении 𝑥'.
Решение. Да, различие между размерами предметов в направлении оси 𝑥, зарегистрированными в этих двух системах отсчёта, существует. Однако физика явлений в обеих системах ничем не отличается. Метровый стержень, покоящийся относительно ракеты и направленный по её движению, оказывается короче длины 1 м в лаборатории. Но и метровый стержень, покоящийся в лаборатории и параллельный направлению движения, окажется укороченным при его измерении работниками на ракете. «Что за нелепица! — возразите вы.— Мне стоит только привлечь элементарную логику, и вся эта релятивистская бессмыслица рухнет. Вы говорите, что метровый стержень на ракете может при измерении из лаборатории оказаться длиной всего в полметра, но тогда вы должны согласиться, что длина в полметра в лаборатории регистрируется на ракете как полный метр. Итак, размеры тел в системе отсчёта ракеты больше, чем их размеры в лабораторной системе (в направлении движения). Значит, там различна сама физика — почему бы ей не быть разной в двух разных системах отсчёта. И я без труда определю, в какой системе отсчёта нахожусь — в лабораторной системе или в системе ракеты. А принцип относительности?! Это же просто выдумка!» Мы ответим на это возражение так. Вероятно, каждый из нас при первом знакомстве с идеями Эйнштейна и Лоренца находит их обескураживающими; ведь мы так мало имели дела с предметами, двигающимися по-настоящему быстро. Может быть, принцип относительности покажется вам немного уютнее, если вы познакомитесь с его аналогом в эвклидовой геометрии. Конечно, между формулами (Δ𝐿)²=(Δ𝑥)²+(Δ𝑦)² в эвклидовой геометрии и (Δτ)²=(Δ𝑡)²-(Δ𝑥)² в лоренцевой геометрии есть некоторая разница. Но ясно, что вас больше волнует вопрос о том, могут ли расстояния в одной системе отличаться от расстояний в другой, чем то, меньше ли расстояния в новой системе, чем в старой (лоренцево сокращение в лоренцевой геометрии), или то, больше ли они в новой системе, чем в старой (возрастание длин в эвклидовой геометрии). Взглянем же на рис. 36. Там изображено поле, протяжённость которого в направлении оси 𝑥 явно превышает протяжённость в направлении оси 𝑥':
Δ
𝑥
=
Δ𝑥'
cos θ𝑟
.
(40)
Рис. 37. Другое поле, простирающееся на большее расстояние в направлении 𝑥' чем в направлении 𝑥.
С другой стороны, взглянем на рис. 37 (в упражнении 48 вы найдёте пространственно-временные аналоги рис. 36 и 37). Здесь изображено другое поле, которое простирается в направлении оси 𝑥 на то же расстояние Δ𝑥. Однако его протяжённость в направлении оси 𝑥' больше, чем Δ𝑥:
Δ
𝑥'
=
Δ𝑥
cos θ𝑟
.
(41)
Вы безусловно согласитесь с этими выводами. У вас даже не зародится сомнения, будто формулы (40) и (41) противоречат друг другу. Ведь вы понимаете, что величина Δ𝑥 в этих формулах каждый раз относится к другому измерению другого поля. Может быть, теперь вы будете готовы поверить, что длина метрового стержня, покоящегося относительно ракеты, будет зарегистрирована в лаборатории как отрезок меньше одного метра длины, тогда как метровый стержень, покоящийся в лаборатории, окажется короче одного метра при измерении с ракеты? Вы скажете: «Я согласен теперь, что в ваших утверждениях нет логических противоречий. Но, может быть, вы не остановитесь на том, что сказали, и по-настоящему докажете мне справедливость сказанного только что, а именно что метровый стержень, покоящийся в лабораторной системе, будет короче одного метра с точки зрения системы отсчёта ракеты». Ответ таков: разрешим формулы преобразования Лоренца (39) относительно координат лабораторной системы отсчёта, выразив их через координаты в системе ракеты. Иначе говоря, поменяем местами штрихованные и нештрихованные координаты в этих формулах и заменим знак скорости на обратный. Или же просто перейдём к уравнениям (36), обратным по отношению к (39). В любом случае запишем соотношения
