-
𝑝
sh
θ
𝑟
≈
≈
2𝐸
ch
θ
𝑟
≈
2𝐸
𝑇
𝑚
≈
(2⋅500
Мэв
)⋅1000
=
=
10⁶
Мэв
=
10³
Бэв
.
Такова кинетическая энергия, которую следует придать одиночному электрону, налетающему на покоящийся электрон, чтобы полная энергия, которая может реализоваться во взаимодействии, составляла 1000 Мэв.
Если взять для протонов (у которых 𝑚=1 Бэв) 𝐸₂'=10³ Бэв, то, читая предыдущие соотношения в обратном порядке, получим
2𝐸
𝑝
=
𝑇𝑝
𝑚
≈
2
𝑇𝑝²
𝑚
≈
10³
Бэв
или
𝑇
𝑝
²
=
𝑚
2
⋅
10²
Бэв
²
≈
500
Бэв
²
,
𝑇
𝑝
=
22
Бэв
.
Значит, протоны, «консервируемые» в накопительных кольцах, должны обладать энергией 22 Бэв, и полная энергия взаимодействия составит 22+22+1+1=46 Бэв. ▲
101. Де Бройль и Бор
Из упражнения 72 известно, что
𝐸
=
𝑝
=
ℎ
𝑐²
ν
.
однако
ν
=
𝑐
λ
,
так что
𝑝
=
ℎ
λ𝑐
или
λ
=
ℎ
𝑝𝑐
=
ℎ
𝑝обычн
,
где 𝑝обычн=𝑝𝑐 — импульс, выраженный в обычных единицах. Потребуем, чтобы для электрона, движущегося по орбите вокруг ядра, выполнялось равенство
𝑛λ
=
2π𝑟
,
𝑛
=
1,
2,
3,
…,
или
𝑛ℎ
𝑝обычн
=
2π𝑟
,
или
𝑟𝑝
обычн
=
𝑛
ℎ
2π
=
𝑛ℏ
,
𝑛
=
1,
2,
3,
…,
Отсюда следует, что орбитальный момент импульса электрона 𝑟𝑝обычн должен быть равен целому кратному ℏ «кванта момента импульса».
Приравняем силу электрического притяжения 𝐾𝑍𝑒²/𝑟² электрона (заряд 𝑒) к ядру (заряд 𝑍𝑒) центробежной силе
𝑚𝑣²
𝑟
=
𝑚²𝑣²
𝑚𝑟
=
(𝑝обычн)²
𝑚𝑟
,
необходимой для удержания электрона на круговой орбите. Постоянная 𝐾 зависит от выбора системы единиц (в единицах СГС 𝐾=1; в системе СИ, или МКС, 𝐾=1/(4 πε₀) н⋅м²/к²:
(𝑝обычн)²
𝑚𝑟
=
𝐾𝑍𝑒²
𝑟²
или
(𝑟𝑝
обычн
)²
=
𝑛²ℏ²
𝐾𝑍𝑒²𝑚𝑟
,
откуда получим
𝑟
=
𝑛²ℏ²
𝐾𝑍𝑒²𝑚
.
Формула (126а) получится, если использовать систему 𝐾=1/(4 πε₀) мула (126б) — если положить 𝐾=1.
Величину скорости β можно найти из формулы, справедливой в случае малых скоростей:
β
=
𝑝обычн
𝑚𝑐
=
𝑛ℏ
𝑚𝑟𝑐
=
𝑛ℏ
𝑚𝑐𝑛²ℏ²/(𝐾𝑍𝑒²𝑚)
=
=
𝐾𝑍𝑒²
𝑛ℏ𝑐
=
𝐾𝑒²
ℏ𝑐
⋅
𝑍
𝑛
=
α𝑍
𝑛
.
▲
102. Ви'дение посредством электронов
В формулу для импульса 𝑝=ℎ/λ𝑐 подставим значения λ=10⁻⁶ м и λ=10⁻¹⁵ м а затем найдём соответствующие значения энергии по формуле 𝐸/𝑚=√1+(𝑃/𝑚)². При λ=10⁻⁶ м энергия получается приближённо равной
𝐸
𝑚
≈
1
+
3⋅10⁻¹²
,
так что
𝑇
≈
3⋅10⁻¹²
𝑚
.
Примем 𝑚=0,5 Мэв; необходимая кинетическая энергия будет тогда равна
𝑇
≈
1,5⋅10⁻⁶
эв
.
Чтобы электронный микроскоп обладал достаточной разрешающей способностью для наблюдения бактерий, электроны должны пропускаться через разность потенциалов не менее одного микровольта. Такие низкие напряжения на практике трудно поддерживать стабильно; более того, столь медленные электроны вовсе не способны пройти даже сквозь высушенную бактерию. Поэтому пользуются электронами с энергиями в несколько тысяч электронвольт, и это позволяет наблюдать детали строения бактерий. При λ=10⁻¹⁵ м энергия должна быть равна
𝐸
𝑚
=
2,4⋅10³
≈
𝑇
𝑚
,
𝑇
=
2,4⋅10³⋅0,5
Мэв
≈
10⁹
эв
=
1
Бэв
.
Для выявления деталей структуры протонов и нейтронов необходимы электроны, ускоренные не менее чем до таких энергий. ▲
103. Прецессия Томаса
Все этапы решения этой задачи подробно изложены в тексте.
104. Трудности межзвёздных полётов
а) Требуемую величину параметра скорости можно определить по коэффициенту замедления времени, ch θ=10. По «способам быстрой оценки для простых смертных» (см. табл. 8 на стр. 78) для параметра скорости приближённо найдём 𝑒θ=20 или θ=3. Отношение начальной массы ракеты к конечной для одного этапа ускорения из состояния покоя до данного конечного значения параметра скорости (или для замедления от данного значения параметра скорости до состояния покоя) можно вычислить по формуле (110) из упражнения 58:
θ
=
ln
𝑀₁
𝑀
.
Отсюда следует искомое отношение масс
𝑀₁
𝑀
=
𝑒
θ
=
20
.
Полезный груз ракеты равен 10⁵ кг; поэтому суммарная масса полезного груза и горючего перед последним торможением при возвращении на Землю составляет 20⋅10⁵ кг. Но при предшествовавшем ускорении от далёкой звезды к Земле ускорять приходится не только полезный груз, но и горючее, необходимое для конечного торможения. Поэтому при прощании со звездой полная масса космического корабля должна быть равна 20⋅20⋅10⁵ кг. Продолжая эти рассуждения назад во времени вплоть до самого отлёта с Земли, для исходного значения массы корабля получим
20⋅20⋅20⋅20⋅10⁵
кг
3,2⋅10¹⁰
кг
,
т.е. 32 миллиона тонн! Из этой общей массы полезный груз составляет всего 100 тонн, а остальное — горючее.
