2) Замедление хода часов (упражнение 10). Подтверждается в опытах со сверхбыстрыми элементарными частицами (упражнения 42 и 43).
3) Относительность одновременности (упражнение 11). Подтверждается косвенно (явление «томасовской прецессии», упражнение 103, где анализ основывается на выводах упражнения 52).
4) Парадокс часов (упражнение 27). Для случая часов бытовой конструкции, побывавших в космическом полёте, проверка ещё не произведена. Подтверждается со значительной степенью точности в случае, когда в качестве часов используются ядра атомов железа (упражнение 89).
Самым убедительным и чувствительным методом проверки специфических предсказаний частной теории относительности оказалось использование столкновений сверхбыстрых частиц, энергетического баланса при ядерных превращениях и порождения пар элементарных частиц. Эти вопросы обсуждаются в тексте гл. 2 и в упражнениях к этой главе.
е) Что скажет вам шофёр, если вы станете указывать ему в качестве данных о городах, в которые нужно заехать, их широту и долготу? Всё, что ему нужно узнать, сводится к расстояниям до этих городов. Так же обстоит дело и в пространстве-времени: вполне можно обойтись без координат, указав лишь интервалы между всеми событиями. Эти интервалы никак не зависят от выбора координат, и тем не менее в них содержится вся действительно нужная информация.
ж) Наблюдения связывают нас с физической реальностью; характеризуя их результаты, мы характеризуем и саму «реальность». ▲
37. Эвклидова аналогия — подробный пример
Решение дано в тексте.
38. Преобразование Галилея
Формулы (57) и (58) получаются из формул (37), если в них подставить выражения из строк 4 и 5 правого столбца табл. 8. В ньютоновской механике не делается различия между величинами момента времени для одного и того же события, измеренными разными движущимися относительно друг друга наблюдателями. Иначе говоря, в ньютоновской механике полагают 𝑡'=𝑡. Здесь можно перейти к времени, измеренному в секундах, и тогда 𝑡сек'=𝑡сек. Ради простоты момент совпадения начал лабораторной системы и системы отсчёта ракеты полагают равным нулю (𝑡=0). В лабораторной системе на оси 𝑥 положение начала отсчёта ракеты описывается функцией времени 𝑣𝑟 𝑡ceк. Утверждается, что координата 𝑥 события в системе отсчёта ракеты равна разности соответствующей координаты события и координаты точки начала отсчёта ракеты, взятых в лабораторной системе. Следовательно, имеет место формула
𝑥'
=
𝑥
-
𝑣
𝑟
𝑡
сек
.
Формулы (57) и (59) практически совпадают — разница состоит лишь в выборе единиц измерения времени. Заметим, что
β
𝑟
𝑡
=
𝑣𝑟
𝑐
𝑡
=
𝑣
𝑟
𝑡
𝑐
=
𝑣
𝑟
𝑡
сек
.
Подставляя это равенство, приведём формулу (57) к виду (59). Однако формулы (58) и (60) нельзя привести к одному и тому же виду одной лишь заменой единиц измерения! Запишите формулу (58) так, чтобы в неё входили 𝑣𝑟 и 𝑡сек. Для этого достаточно разделить обе её стороны на 𝑐 и учесть, что 𝑡/𝑐=𝑡сек :
𝑡
сек
'
=-
𝑣𝑟
𝑐
⋅
𝑥
𝑐
+
𝑡
сек
=
𝑡
сек
-
𝑥
𝑣𝑟
𝑐²
.
(58')
Формула (58') отличается от формулы (60) в тексте членом 𝑥𝑣𝑟/𝑐², которым можно в большинстве случаев пренебречь, так как обычно скорость 𝑣𝑟 намного меньше, чем скорость света 𝑐. Пример. Наибольшая скорость, с которой летал человек, достигается на искусственных спутниках Земли и примерно равна 30 000 км/час или 8000 м/сек. Наибольшее расстояние между космонавтом в спутнике и наблюдателем на Земле имеет место, когда наблюдатель находится на стороне Земли, противоположной положению спутника в этот момент. Тогда расстояние между ними примерно равно диаметру Земли — около 13⋅10⁶ м. Таким образом, наибольшее значение члена 𝑥𝑣𝑟/𝑐², достигнутое до сих пор с участием наблюдателей, равно
(13⋅10⁶
м
)
(8⋅10³ м/сек)
(3⋅10⁸ м/сек)²
=
10⁻⁶
сек
.
Конечно, такой интервал времени доступен измерению современными средствами, но его едва ли понадобится измерять в ходе анализа экспериментов на спутниках хотя бы уже потому, что космонавт обычно поддерживает связь с наземным наблюдателем на обращённой к нему стороне планеты! 1)
1) После выхода в свет американских изданий книги Тейлора и Уилера и их сборника решений к упражнениям соотечественники авторов уже успели побывать на Луне. Взяв с форзаца книги величину расстояния от Земли до Луны и учтя, что первая космическая скорость на Луне составляет всего около 1700 м/сек, читатель найдёт, что член 𝑥𝑣𝑟/𝑐 в формуле (58') и в данном случае остаётся меньше 10⁻⁵ сек, когда астронавты кружат по окололунной орбите. Первую космическую скорость для Луны можно получить, приравняв друг другу центростремительную силу лунного притяжения и центробежную силу, действующую при движении по круговой орбите:
𝑣²
𝑅 = 𝐺
𝑀
𝑅²
(здесь уже произведено сокращение на величину массы космического корабля); в качестве 𝑅 следует положить величину радиуса Луны, 𝑅=1740 км=1,74⋅10⁶ м; масса Луны равна 𝑀=7,3⋅10²² кг. Конечно, наибольшей скорости космический корабль достигает на обратном пути к Земле, при вхождении в её атмосферу, но тогда слишком мала величина 𝑥. — Прим. перев. ▲
39. Пределы применимости преобразования Галилея
Найдём из табл. 8 приближённые выражения функций sh θ и ch θ с точностью до членов второго порядка:
sh θ
≈
θ
,
ch θ
≈
1
+
θ
2
(в первом случае поправка второго порядка просто равна нулю!). Вид формул (37) с точностью до членов второго порядка малости можно получить, имея в виду, что даже в этом приближении θ𝑟≈β𝑟. Тогда в этом втором приближении будем иметь
𝑥'
=
𝑥
⎛
⎜
⎝
1
+
β𝑟²
2
⎞
⎟
⎠
-
β
𝑟
𝑟
,
𝑡'
=-
β
𝑟
𝑟
+
𝑡
⎛
⎜
⎝
1
+
β𝑟²
2
⎞
⎟
⎠
.
Коэффициенты, входящие в эти уравнения, отличаются от коэффициентов в формулах (57) и (58) менее чем на 1%, если принять
β𝑟²
2
<
10⁻²
или
β
𝑟
²
<
1
50
,
откуда приближённо получим
β
𝑟
<
1
7
,
что и требовалось получить.
При старте с места гоночный автомобиль развивает ускорение 𝑎=𝑣/𝑡=4 м/сек². Если поддерживать такое ускорение постоянным, то скорости 𝑣=(1/7)⋅3⋅10⁸ м/сек можно достигнуть за срок примерно в 𝑡=𝑣/𝑎=10⁷ сек, т.е. около 4 месяцев. Даже с ускорением 7𝑔≈70 м/сек² для достижения этой скорости потребовалось бы около недели! ▲
