𝑀-𝑀_rest

𝑀_rest

≃-

3β

8

⎛

⎜

⎝

2𝑀

𝑅

⎞

⎟

⎠

+

1,3

⎛

⎜

⎝

2𝑀

𝑅

⎞²

⎟

⎠

.

(П.4)

Здесь 2𝑀 - радиус Шварцшильда чёрной дыры с той же самой массой, что и масса сверхзвезды.

При интерпретации моделей в разделе 14.3 Фейнман начал с того, что спросил об эволюции сверхзвезды, состоящей из фиксированного количества нуклонов (т.е. фиксированной нуклонной массы покоя 𝑀_rest), которая постепенно излучает тепловую энергию, что, тем самым, приводит к уменьшению полной массы 𝑀 и делает звезду более плотно связанной. Он обнаружил странную эволюцию: когда звезда излучает, её радиус увеличивается (движение вниз и направо по толстой кривой на рис. П.1) и её температура в центре уменьшается. Это противоречит поведению большей части других звёзд, которые, когда они излучают, сжимаются и нагреваются, в том случае, если в них не происходит горения термоядерного топлива. (Если вместо того, чтобы иметь дело с полностью релятивистской областью слева от точки минимума кривой связи, Фейнман сохранил бы учёт влияния газа и провёл вычисления в почти ньютоновской области справа, он обнаружил бы противоположное поведение: сверхзвезда должна была бы сжиматься и нагреваться, когда она излучает).

Рис. П.1. Энергия связи звезды, состоящей из водорода. На вертикальной оси слева отложена отрицательная величина относительной энергии связи, т.е. (𝑀-𝑀_rest)𝑀_rest, где 𝑀 - полная масса звезды и 𝑀_rest - полная масса покоя всех нуклонов звезды; по горизонтальной (верхней) оси отложен радиус звезды в единицах радиуса Шварцшильда 2𝑀 чёрной дыры с той же самой массой. Масштабы, отложенные на левой оси и верхней оси, справедливы в белой области для сверхзвёзд любой массы, но в (почти ньютоновской) затенённой области только при 𝑀=10⁶𝑀_sun На вертикальной правой оси отложена отрицательная величина от относительной энергии связи в единицах массы Солнца 𝑀_sun; на нижней горизонтальной оси отложена величина 𝑅/2𝑀, умноженная на отношение β газового давления и полного давления. Правый и нижний масштабы оказываются справедливыми для сверхзвёзд любой массы в почти ньютоновский затенённой области, но они оказываются неверными в полностью релятивистской белой области. Вертикальный масштаб является арктангенсом, т.е. он почти линеен при |(𝑀-𝑀_rest)𝑀_rest|≲1, и логарифмическим при |(𝑀-𝑀_rest)𝑀_rest|≳1. Толстая часть кривой следует из вычислений Фейнмана, изложенных в лекции 14, тонкие части связаны с работами Ибена [Iben 63], Фаулера [Fowl 64], Бардина [Bard 65] и Тупера [Тоор 66].

Фейнман поставил вопрос о том, являются ли его модели сверхзвёзд устойчивыми. ”Устойчивость нашей звезды не изучена [количественно]”, подчёркивает он и затем продолжает представлять исходные рассуждения по данному вопросу: ”[Модели, которые имеют] одно и то же количество нуклонов и одно и то же значение τ [одно и то же значение энтропии], могут сравниваться как по значению радиуса, так и по температуре в центре. Факт, состоящий в том, что очевидно имеется минимальное значение радиуса [наиболее левый изгиб на рис. П.1], … является очень соблазнительным; звезда может иметь устойчивую конфигурацию”. Здесь Фейнман интуитивно идёт к методу анализа устойчивости, создание которого было завершено год или более спустя Джеймсом Бардиным, когда он стал аспирантом Фейнмана. Завершённая Бардиным версия аргумента Фейнмана [Bard 65, ВТМ 66] показала, что когда мы движемся вдоль кривой, описывающей энергию связи, ограничивая себя только фиксированными значениями массы 𝑀_rest, энтропия меняется от одной модели к другой, за исключением области в окрестности каждого минимума или максимума связи, где конфигурация является стационарной. Это означает, что звезда обладает модой деформации с нулевой частотой для каждого значения минимума или максимума, модой, которая переносит сверхзвезду от одной равновесной модели к другой с тем же самым значением энтропии, энергии связи и массой покоя. Это в свою очередь означает, что одна мода радиальных колебаний меняет устойчивость в каждом экстремуме связи. Анализируя эти конфигурации и рассматривая моды собственных функций, которые должны иметь место, Бардин выводит, что если кривая связи поворачивается по часовой стрелке, когда по ней перемещаемся через экстремум, тогда эта мода становится неустойчивой; если эта кривая поворачивается против часовой стрелке, тогда эта мода становится устойчивой. (Это утверждение является справедливым вне зависимости от того направления, в котором мы движемся по кривой.) Анализ Бардина, приложенный к рис. П.1, показывает, что практически ньютоновские модели в нижнем правом углу (которые сжимаются, когда они излучают) являются устойчивыми, и они должны терять устойчивость и коллапсировать для того, чтобы образовать чёрную дыру, когда они достигают минимума кривой связи; эти модели за точкой минимума (включая все модели Фейнмана) обладают одной неустойчивой модой радиальной пульсации; эти модели за первым пиком в кривой связи (верхняя левая часть рис. П.1) обладают двумя неустойчивыми модами и т.д.

Фейнман, конечно, не отдавал себе в этом отчёт 28 января 1963 года; так что он приступил к лекции 14 для того, чтобы достичь понимания относительно устойчивости его моделей с помощью других методов. Он представляет себе, что взята одна из таких моделей сверхзвезды с барионной массой покоя 𝑀_rest и затем этот объект раскалываем на две сверхзвезды, каждая из которых имеет массу покоя 𝑀_rest/2, в то время как сохраняется фиксированным значение энтропии на один нуклон. ”Получим ли мы работу в результате этого процесса, или мы должны затратить работу для того, чтобы получить [звезду], расколотую на две части?” Из его таблицы 1 и уравнений (14.2.1а-14.2.1в) он выводит, что ”два объекта … должны были быть более массивными; требуется работа для того, чтобы расколоть такую систему. Это наводит на мысль о том, что звезда не могла бы выбрасывать вещество, но сохранялась бы в одном коме”, т.е. звезда могла бы быть устойчивой.

На первый взгляд это кажется убедительным аргументом. Тем не менее, на самом деле этот аргумент является обманчивым (как осознал Фейнман предположительно где-то между этой лекцией и семинаром Хойла). Эти две новые звезды, которые Фейнман образовал, расколов свою первоначальную звезду, находятся много выше толстой кривой энергии связи, изображённой на рис. П.1, т.е. они много более релятивисткие, чем первоначальная звезда. Тем не менее, имеются также две звёздных модели с теми же самыми значениями массы покоя и энтропии на нуклон, на устойчивой, почти ньютоновской ветви кривой связи в нижнем правом углу рис. П.1. Если первоначальная звезда разбивается на эти две звезды, то будет выделяться энергия, что правильно наводит на мысль о том, что первоначальная звезда является на самом деле неустойчивой. Фейнман пропустил эту аргументацию потому, что ни он, ни кто-либо 28 января 1963 ещё не знали вида кривой связи в затенённой области. Разумно сделать предположение, тем не менее, что он сделал достаточно много предположений, связанных с этим вопросом, до того, как на семинаре Хойла была замечена его ошибка.

Проведя неверный анализ устойчивости звёзд, Фейнман переходит в разделе 14.4 к тому, чтобы предложить направления дальнейших исследований сверхзвёзд. Он начинает с предложения вариационного принципа, с помощью которого можно построить равновесные модели полностью релятивистских, изэнтропических сверхзвёзд: "найти конфигурацию с наименьшей массой, исходя из заданного числа нуклонов” (и с заданной энтропией на нуклон). Два года спустя работающий в Париже Джон Кок [Cock 65] разработал, предположительно независимо от предложения Фейнмана, детальный вариационный принцип, эквивалентный фейнмановскому (в котором сохраняется масса и число нуклонов и максимизируется энтропия), и использовал этот принцип для построения общерелятивистских звёздных моделей.