1 Современное рассмотрение этой проблемы, включающее в себя обсуждение проблемы спектра атома водорода см. в [Klei 89].
Значение члена, такого как член со множителем β в соотношении (10.3.3), состоит в том, что он характеризует то, должны ли мы иметь дело с частицей, которая может чувствовать гравитационное поле вне области, достаточно большой по сравнению с той, которая характеризуется локальной кривизной. Если частица имеет структуру, которая в некотором смысле инфинитезимально мала, тогда она не может чувствовать кривизну. Но если, что скорее всего, частица, двигаясь, совершает движение типа штопора в окрестности своего положения, то член, включающий в себя локальную кривизну, может быть очень хорошо представлен.
Мы приведём пример, рассматривая ситуацию в электродинамике, как иное исходное положение приводит к иному ответу достаточно безобидным путём. Здесь принцип минимального электромагнитного взаимодействия приводит к замене
∂
∂𝑥μ
→
⎛
⎜
⎝
∂
∂𝑥μ
-
𝑖𝑒
𝐴
μ
⎞
⎟
⎠
(10.3.4)
в лагранжиане. Предположим теперь, что перед тем, как мы сделали такую замену, мы записали интеграл от лагранжиана следующим образом:
𝑆
=
∫
𝑑𝑉
ψ
γ
μ
∂
∂𝑥μ
ψ
-
∫
𝑑𝑉
ψ
𝑚ψ
+
+
ε
∫
𝑑𝑉
ψ
(
γ
μ
γ
ν
-
γ
ν
γ
μ
)
∂
∂𝑥μ
∂
∂𝑥ν
ψ
.
(10.3.5)
Последнее слагаемое не записывается при обычном изложении теории, поскольку оно тождественно равно нулю, причём потому, что оно в точности равно нулю, не может быть никакого твёрдого и надёжного правила относительно того, как отбросить этот член. Тем не менее, когда мы делаем замену градиента в соответствии с соотношением (10.3.4) для того, чтобы включить электромагнетизм, результирующий лагранжиан оказывается не тем же, каким он был до преобразования; лагранжиан имеет дополнительное слагаемое,
ε
γ
μ
γ
ν
𝐹
μν
.
(10.3.6)
где 𝐹μν=𝐴μ,ν-𝐴μ,ν Этот член есть член аномального момента, открытого Паули. (Впервые это было сообщено мне Вентцелем.)
Электродинамика частиц спина 1 усложняется также аномальными квадрупольными моментами. Очевидно, не существует более простого выражения для лагранжиана, который можно записать, так что в теоретических работах должны представляться вычисления с альтернативными теориями, которые соответствуют различным аномальным моментам.
В нашей теории гравитации ситуация аналогична. Это как если бы частица обладала аномальным моментом инерции, добавляемым к обычному моменту инерции, обусловленному распределением массы.
В электромагнетизме подобные неоднозначности не появляются при описании частиц с нулевым спином - они впервые появляются при описании частиц со спином 1/2. С другой стороны, в гравитации трудности возникают даже при обсуждении простейшего случая скалярных частиц. Не существует решения для преодоления таких трудностей - мы должны признать, что множество альтернативных теорий (различных значений α) оказывается возможным.
Движение частицы в заданном гравитационном поле описывается уравнением, которое получается, когда мы вариируем действие по отношению к полю φ. В зависимости от того, как мы переходим к квантовой механике, различные варианты действия приводят к простейшим результатам. Таким образом, мы не можем доказать, что что-либо проще, если это не приводит к одновременной простоте при решении множества различных задач. Для различных задач необходимо выбрать различные значения а для того, чтобы упростить решение, или для того, чтобы отказаться от производных. Если положить α=0, то тогда мы приходим к ковариантной простоте только в том смысле, что требуется меньше алгебраических вычислений при таком исходном положении. При этом нет какой-либо подразумеваемой физической простоты, так как все значения α приводят к различным степеням сложности или в той, или в другой задаче.
Давайте приступим к получению уравнений движения поля материи φ. Исходя из соотношения (10.3.2), мы можем использовать следующие вариации обратной матрицы и квадратного корня от детерминанта:
δ𝑔
μν
=-
𝑔
μα
𝑔
νβ
δ𝑔
αβ
,
δ(√
-𝑔
)
=
1
2
√
-𝑔
𝑔
αβ
δ𝑔
αβ
,
(10.3.7)
для того, чтобы получить следующее выражение для 𝒯μν:
𝒯
μν
=
-2
δ𝑆𝑚
δ𝑔μν
=
√
-𝑔
φ
;μ
φ
;ν
-
1
2
√
-𝑔
𝑔
μν
(
φ
;α
φ
;α
-
𝑚²φ²
)-
-α
√
-𝑔
⎛
⎜
⎝
𝑅
μν
-
1
2
𝑔
μν
𝑅
⎞
⎟
⎠
φ²
-
4αφφ
;β
√
-𝑔
δ𝑅
δ𝑔μν,β
.
(10.3.8)
Далее мы вычисляем вариацию по отношению к полю φ и кладём вариацию равной нулю для того, чтобы получить нечто, что является аналогичным уравнению Клейна - Гордона
⎛
⎝
√
-𝑔
𝑔
μν
φ
,ν
⎞
⎠μ
+
√
-𝑔
𝑚²φ
+
2α𝑅
√
-𝑔
φ
=
0.
(10.3.9)
Получим уравнение, в котором тензоры появляются путём деления на скалярную плотность √-𝑔
1
√-𝑔
⎛
⎝
√
-𝑔
𝑔
μν
φ
,ν
⎞
⎠μ
+
𝑚²φ
+
2α𝑅
φ
=
0.
(10.3.10)
Используя соотношения (10.1.20) и (10.1.21), мы видим, что последнее уравнение может быть переписано в виде
φ
;μμ
+
(
𝑚²
+
2α𝑅
)
φ
=
0.
(10.3.11)
Связь с уравнением Клейна - Гордона может быть замечена при рассмотрении случая α=0; обычный даламбертиан просто заменён на его ковариантный аналог, ковариантный даламбертиан.
Предшествующие шаги дали нам вполне определённую теорию, поскольку мы точно определили, как движется материя и какой есть тензор источника. Легко проверить, что для тензора, который мы выписали, ковариантная дивергенция 𝒯μν;ν равна нулю, трюк здесь состоит в том, чтобы использовать каждый раз, когда это необходимо, сами полевые уравнения. Таким образом, ход рассуждений оказывается последовательным, все соответствующие тензоры являются бездивергентными, и это оказывается достаточно существенным, чтобы в рассуждениях исходить из этого. Для того, чтобы построить более полную теорию, мы добавляем дополнительные члены к действию так, чтобы представить другие известные поля. Мы записали сначала действие в плоском пространстве, так как мы знаем это; исходя из некоторого вида критерия, мы выберем наипростейшую форму для действия, которое есть инвариант. Требование, что действие должно быть инвариантом, приводит к ковариантным уравнениям для полей. Это не является ограничением на то, какие известные поля мы можем включить в рассмотрение, поскольку все известные законы физики могут быть ковариантным образом записаны. Дифференциальные законы обладают этим свойством. Любой закон, записанный как дифференциальное уравнение, может быть легко преобразован к ковариантной форме; мы предполагаем, что в касательном пространстве этот закон оказывается тем же самым, каким мы его знаем, затем мы вращаем и растягиваем координаты. Результирующие уравнения включают в себя производные полей вплоть до второй производной метрического тензора.
