𝒯
μν
,ν
=-
Γ
μ
αβ
𝒯
αβ
,
(10.1.26)
где 𝒯μν=√-𝑔𝑇μν, но тензор энергии-импульса 𝑇μν удовлетворяет следующему соотношению
𝑇
μν
,ν
=-
Γ
μ
αβ
𝑇
αβ
-
1
2𝑔
𝑔
,α
𝑇
μα
.
(10.1.27)
10.2. Действие для классических частиц в гравитационном поле
Следующее, что мы обсудим, это то, как записать общий закон физики, который описывает не только гравитационные поля, но также и вещество. Мы предполагаем, что такой закон может быть выведен из принципа наименьшего действия; математическая формулировка которого состоит в том, что вариация действия равна нулю
δ𝑆
=
δ
∫
𝑑⁴𝑥
ℒ[
𝑔
μν
,
𝐴
μ
, …]
(10.2.1)
Плотность лагранжиана ℒ содержит различные виды полей, например, поле тензора гравитации 𝑔μν, электромагнитное поле 𝐴μ и, если вещество есть скаляр, поле вещества скаляра φ. Когда мы вариируем это действие по отношению к различным полям, мы получаем уравнения распространения для соответствующих полей. Мы написали одну часть этого действия; давайте обозначим ту часть действия, которая ранее была пропущена, через 𝑆𝑚 которая зависит от полей материи φ и электромагнитных полей 𝐴μ и всех других полей, какие мы только знаем. Когда мы вычисляем вариацию от действия
𝑆
=
𝑆
𝑔
+
𝑆
𝑚
=-
1
2λ²
∫
𝑑⁴𝑥
√
-𝑔
𝑅
+
𝑆
𝑚
,
(10.2.2)
по отношению к 𝑔μν, мы получаем следующее уравнение:
δ𝑆𝑔
δ𝑔μν
=
1
2λ²
√
-𝑔
⎡
⎢
⎣
𝑅
μμ
-
1
2
𝑔
μν
𝑅
⎤
⎥
⎦
=-
δ𝑆𝑚
δ𝑔μν
.
(10.2.3)
Тензорная плотность энергии-импульса вещества 𝒯μν должна быть вариационной производной 𝑆𝑚
𝒯
μν
=-
2
δ𝑆𝑚
δ𝑔μν
,
(10.2.4)
в том случае, если тензор 𝑇μν должна быть источником гравитационного поля. Теперь нам понадобится несколько примеров тензора 𝑇μν. Если мы не можем вычислить тензор 𝑇μν, исходя из некоторого физического принципа, тогда нет теории гравитации, так как мы не знаем, каким образом поля связываются с любым другим объектом.
Существуют некоторые требования непротиворечивости, подобные тем, которые мы находим в электродинамике. Для того, чтобы решить уравнения Максвелла, нам необходимо иметь токи. Это должны быть сохраняющиеся токи, а не просто произвольные токи. Сохраняющиеся токи источника, имеющие столь важное значение, получаются путём решения некоторых других задач физики, описываемых некоторым независимым законом, таким как Закон Ома, или Закон Гука, или уравнение Шрёдингера для таких и подобных систем. Если у нас не было таких других законов, то теория электромагнитных полей была бы бесполезной и не имела бы никакого значения.
Для гравитации ситуация более сложная. В тензоре 𝑇μν заключено и движение материи, отсюда следует, что у нас должен быть закон, которому следует материя, включая закон Ома и закон Гука; но также тензор 𝑇μν будет заключать в себе поля гравитации 𝑔μν, обстоятельство, которое запутывает подобные задачи существенно в большей степени, чем в электромагнетизме. Вообще говоря, невозможно написать каким-либо согласованным образом тензор 𝑇μν за исключением вакуума, если не решена уже полная запутанная задача. Беспокойство вызвано тем, что любое точно определённое выражение для тензора 𝑇μν не будет давать решение подобной задачи, за исключением специальных случаев метрического тензора 𝑔μν; полное релятивистское решение должно было бы выполняться вне зависимости от частного выбора координат и кривизны. Даже для очень простых задач у нас нет идей относительно того, каким путём надо следовать, чтобы записать правильным образом тензор 𝑇μν. Мы не знаем, как записать тензор 𝑇μν для того, чтобы описать вращающийся стержень, так что мы не можем вычислить в точности излучение им гравитационных волн. Мы не можем вычислить тензор 𝑇μν для системы, состоящей из Земли и Луны, поскольку приливные силы и силы упругости Земли существенно влияют на гравитационные поля. Если мы предположим, что Земля абсолютно твёрдая, то эти уравнения окажутся несогласованными. Если мы предположим, что Земля есть точка, то уравнения окажутся слишком сингулярными для того, чтобы иметь решения. И несмотря на это, материальный шар с заданной жёсткостью, такой как Земля, будет вращаться вокруг Луны другой массы и жёсткости вне зависимости от того, являются ли рассматриваемые уравнения точно определёнными.
В этом месте теория гравитации оказывается достаточно уязвимой, поскольку одна часть уравнения теории гравитации является замечательно красивой и геометрической, а другая часть нет, она содержит всю ”грязь” закона Гука и других законов, которые определяют поведение материи, которые не являются ни красивыми, ни геометрическими. Очень многие физики оказались настолько загипнотизированными красотой одной части этих уравнений, что они игнорируют другую часть. Тем самым, у них нет физики, которую необходимо было бы исследовать.
Мы должны провести некоторое изучение для того, чтобы понять возможные виды для действия, соответствующего вкладу материи 𝑆𝑚 В качестве исходной точки полезно рассмотреть классические пределы. Если мы правильно запишем классическое действие, то обычно не очень трудно увидеть, каким образом можно обобщить формулы, чтобы они стали инвариантными при произвольных координатных преобразованиях. Удобный способ породить такие обобщённые формулы состоит в том, чтобы возвратиться назад к локально падающей (свободно падающей) касательной координатной системе, разгадать, как добавить в качестве множителей 𝑔μν и 𝑅μν так, чтобы всё выражение оказалось инвариантом. Например, свободная частица, на которую не действуют силы, характеризуется действием
𝑆
𝑚
=-
𝑚₀
2
∫
𝑑𝑠
𝑑𝑧μ
𝑑𝑠
𝑑𝑧μ
𝑑𝑠
.
(10.2.5)
Этот пример иллюстрирует процедуру решения подобных задач; обнаруживается обычно, что такой подход оказывается весьма плодотворным. Мы записываем выражения такими, как они выглядят в плоских координатах, переходим к криволинейным координатам и видим, в какие места входят величины 𝑔μν Часто бывает очевидно, какая общая форма будет приводить к результатам в плоском пространстве. Если 𝑧μ(𝑠) - орбита частицы, которая свободно падает, то соответствующее слагаемое в действие есть
𝑆
𝑚
