Мой ответ состоял в том, что, если мы согласны с тем, что масса фотона связана с частотой как ω=√𝑘²+𝑚², фотоны с различными длинами волн должны были бы путешествовать с различными скоростями. Тогда при наблюдении затменной двойной звезды, которая от нас достаточно удалена, мы должны были бы наблюдать затмение в голубом и красном диапазоне в различное время. Поскольку ничего подобного не наблюдается, мы можем положить верхний предел на эту массу, который, если использовать числа, порядка 10⁻⁹ массы электрона. Мой ответ был переведён профессору. Тогда он захотел узнать, чтобы я сказал, если бы он сказал 10⁻¹² массы электрона. Переводивший студент был смущён таким вопросом, я протестовал, что это против наших правил, но согласился попробовать снова.

Если фотоны имеют малую массу, одинаковую для всех фотонов, большие относительные различия от поведения безмассовых фотонов ожидаются в тех случаях, когда длина волны больше. Так что из резкости известного отражения импульсов радара, мы можем положить верхний предел на массу фотона, который несколько лучше, чем предел, получаемый из аргумента двойной затменной звёздной системы. Оказывается, что эта масса должна быть меньше 10⁻¹⁵ массы электрона.

После этого, профессор снова захотел изменить значение массы и сделать её равной 10⁻¹⁸ массы электрона. После этого вопроса все студенты забеспокоились, я запротестовал, поскольку он нарушает правила, делая эту массу всё меньше и меньше, я не смог бы привести аргументы в некотором случае. Тем не менее, я попытался снова. Я спросил его, согласен ли он с тем, что если фотон имеет малую массу, то из аргументов теории поля потенциал фотона зависит от расстояния как exp(-𝑚𝑟)/𝑟. Он согласился. Тогда Земля имеет статическое магнитное поле, которое, как известно, продолжается в пространство на некоторое расстояние (что известно из поведения космических лучей), на расстояние, по-крайней мере, равное нескольким Земным радиусам. Но это значит, что масса фотона должна быть величиной меньшей, чем та, которая соответствует длине распада порядка 8000 миль или 10⁻²⁰ массы электрона. В этом месте, к моему облегчению, беседа закончилась.

Мы не должны поступать подобным образом при попытках построить теорию гравитации из известных полей, модифицируя величины взаимодействий или вводя новые постулаты в каждом месте, в котором мы обнаружим трудности; мы должны быть готовы выдвинуть определённые теории, использующие известное поведении наших полей, и подготовится к тому, чтобы отвергнуть их, если они окажутся неадекватными.

2.3. Обмен одним нейтрино

Посмотрим можем ли мы получить силу, чем либо похожую на гравитацию, обменом одним нейтрино. Эти пробные теории, которые мы обсуждаем, неточно сформулированы и не полностью исследованы потому, что они не кажутся подходящими, когда мы делаем первые несколько оценок. Может быть, возможно преодолеть эти трудности, которые заставляют нас отвергнуть эти оценки, но я чувствую, что предпочтительнее упорно придерживаться тех правил, относительно которых мы договорились, что мы должны пытаться дать объяснение в терминах известных свойств частиц без каких бы то ни было новых постулатов. Это мне не удалось.

Рис. 2.3.

Обмен нейтрино может обладать потенциалом, который зависит от расстояния как 1/𝑟, поскольку его масса равна нулю. Но так как нейтрино имеет полуцелый спин, одиночный обмен не приводит к статической силе, поскольку после одиночного обмена источник нейтрино не находится больше в том же самом состоянии, в котором он был первоначально. Для того, чтобы получить из обмена силу, а не только рассеяние, необходимо, чтобы диаграмма, включающая этот обмен, могла бы интерферировать с диагональными членами в амплитуде рассеяния, что состоит в том, что произошло бы добавление к амплитуде, которая соответствует тому, что ничего не происходит (2.3). Таким образом, возможность обмена одним нейтрино управляется тем фактом, что половина единицы углового момента не может быть испущена объектом, который остаётся в том же самом внутреннем состоянии, в котором находился исходно.

Рис. 2.4.

Бесспиновый мезон с нулевой массой мог бы привести к потенциалу, пропорциональному 1/𝑟. Наиболее просто вычислить дополнительную энергию взаимодействия в координатном пространстве по сравнению с импульсным пространством. Импульсный пропагатор для такой частицы был бы 1/𝑘². Нейтринный пропагатор имеет вид 1/𝑘 или 𝑘/𝑘², таким образом имеет более высокую степень 𝑘 в числителе; было бы даже ещё труднее связать такой пропагатор с силой типа гравитационной. Для мезона с нулевым спином мы вычисляем диаграмму, интегрируя по всем возможным моментам времени, в которые происходит испускание, и по всем моментам времени захвата, в которые происходит захват мезона, пропагатор δ₊=1/(𝑡²-𝑟²+𝑖ε) (рис. 2.4), дополнительная энергия есть (опуская множители)

𝐸

∝

∫

𝑖𝑑𝑡

𝑡²-𝑟²+𝑖ε

∝

1

𝑟

.

(2.3.1)

В последнем соотношении интегрирование проводится только по времени испускания (или только по времени захвата); повторное интегрирование вводит временной множитель, который представляет нормальное опережение фазы, так что он не представляет энергии взаимодействия.

Мы не установили точно только, как мы ожидаем, чтобы массы появились как множители, но имеется весьма мало смысла делать это, поскольку мы не знаем никаких бесспиновых нейтрино. Эта теория убивается половиной единицы углового момента, переносимого при взаимодействии.

2.4. Обмен двумя нейтрино

Рис. 2.5.

Может быть мы всё ещё можем получить теорию гравитации путём обмена двух нейтрино, так что они могут иметь диагональные расчётные элементы. Нет ясного пути, идя по которому, можно увидеть, почему энергия взаимодействия между двумя большими объектами должна была бы быть в точности пропорциональна их массам, хотя очевидно, что она была бы, по крайней мере, грубо пропорциональна числу частиц в каждом из них. Оставляя в стороне это обстоятельство (или возвращаясь назад, если что-либо работает не так, как следует), мы будем говорить, что взаимодействие двух объектов пропорционально произведению 𝑚₁⋅𝑚₂, умноженному на взаимодействие одной пары частиц. Мы продвигаемся много дальше, чем в предыдущем случае, но делаем это несколько более аккуратно, поскольку результаты более интересные. Амплитуда того, что испускается пара нейтрино за время 𝑑𝑡 есть 𝐺'𝑑𝑡. Амплитуда того, что одно нейтрино испускается из одной точки в другую равна 1/(𝑡²-𝑟²+𝑖ε) Мы введём массы взаимодействующих частиц 𝑚₁, 𝑚₂ говоря, что эти массы должны представлять общее число частиц так, что энергия между двумя массами равна

𝐸

=

𝑚₁

𝑚₂

𝐺'²

∫

𝑖𝑑𝑡

(𝑡²-𝑟²+𝑖ε)²

.

(2.4.1)

Этот интеграл может быть весьма легко взят, либо вычислением вычетов в полюсах или простым дифференцированием интеграла (2.3.1), так что энергия равна

𝐸

=

𝑚₁

𝑚₂

𝐺'²π

2

1

𝑟²

,

(2.4.2)

где 𝑟 расстояние, разделяющее частицы. Таким образом, мы обнаруживаем, что обмен двумя нейтрино приводит значение энергии, которое неправильно зависит от расстояния. Это заключение приводит к выводу, что теория выглядит безнадёжно. Но надежда возникает вновь, если мы анализируем ситуацию несколько дальше. Оказывается, что мы можем получить член, который зависит как 1/𝑟, рассмотрением обмена между тремя массами. Три частицы могут обмениваться двумя нейтрино между любыми из трёх пар и новым способом (рис. 2.5). Положим, что первое испускание имело место при 𝑡=0, а другие вершины имели место в моменты времени 𝑡 и 𝑠. Тогда во взаимодействие вовлечена была бы энергия