𝑝
=
∫
⎛
⎜
⎝
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝐺
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
,
(13)
где 𝐹, 𝐺, 𝐻 являются составляющими электромагнитного импульса 𝔄 в точке (𝑥,𝑦,𝑧), а интегрирование распространяется на замкнутый контур 𝑠. Таким образом, мы находим
𝑇
=
1
2
∑
𝑖
∫
⎛
⎜
⎝
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝐺
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
.
(14)
Если 𝑢, 𝑣, 𝑤 являются составляющими плотности тока в произвольной точке проводящего контура, а 𝑆 - поперечное сечение контура, то можно записать
𝑖
𝑑𝑥
𝑑𝑠
=
𝑢𝑆
,
𝑖
𝑑𝑦
𝑑𝑠
=
𝑣𝑆
,
𝑖
𝑑𝑧
𝑑𝑠
=
𝑤𝑆
.
(15)
Мы можем также записать объём 𝑆𝑑𝑠=𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, и тогда находим
𝑇
=
1
2
∭
(
𝐹𝑢
+
𝐺𝑣
+
𝐻𝑤
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(16)
где интегрирование следует распространить на все части пространства, где имеются электрические токи.
635. Подставим теперь вместо 𝑢, 𝑣, 𝑤 их значения, следующие из уравнений (Е) п. 607, выражающих электрические токи через компоненты магнитной силы α, β, γ. Тогда имеем
𝑇
=
1
8π
∭
⎧
⎨
⎩
𝐹
⎛
⎜
⎝
𝑑γ
𝑑𝑦
-
𝑑β
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
𝐺
⎛
⎜
⎝
𝑑α
𝑑𝑧
-
𝑑γ
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
+
𝐻
⎛
⎜
⎝
𝑑β
𝑑𝑥
-
𝑑α
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(17)
где интегрирование распространяется на часть пространства, включающую все токи.
Если проинтегрировать это выражение по частям и вспомнить, что на большом расстоянии 𝑟 от системы составляющие α, β и γ являются величинами порядка 𝑟-3, мы найдём, что, когда область интегрирования распространена на всё пространство, выражение сводится к такому:
𝑇
=
1
8π
∭
⎧
⎨
⎩
α
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐻
𝑑𝑦
-
𝑑𝐺
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
β
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑧
-
𝑑𝐻
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
+
γ
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐺
𝑑𝑥
-
𝑑𝐹
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(18)
Из уравнений (А) п. 591 для магнитной индукции мы можем подставить вместо величин в круглых скобках составляющие магнитной индукции 𝑎, 𝑏, 𝑐, так что кинетическую энергию можно записать
𝑇
=
1
8π
∭
(
𝑎α
+
𝑏β
+
𝑐γ
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(19)
интегрирование следует распространить на все части пространства, где магнитная сила и магнитная индукция имеют отличные от нуля значения.
Величина, стоящая в этом выражении в скобках, является произведением магнитной индукции и проекции магнитной силы на направление магнитной индукции.
На языке кватернионов это можно записать более просто: -𝑆.𝔅ℌ, где 𝔅 - магнитная индукция, составляющие которой равны 𝑎, 𝑏, 𝑐, а ℌ - магнитная сила, составляющими которой являются α, β, γ.
636. Таким образом, электрокинетическая энергия системы может быть выражена в виде интеграла, который следует брать либо там, где есть электрические токи, либо по всем тем частям поля, где существует магнитная сила. Первый интеграл является естественным выражением для теории, в которой предполагается прямое воздействие токов друг на друга на расстоянии, тогда как второй интеграл соответствует теории, пытающейся объяснить действие между токами с помощью некоторого промежуточного действия в пространстве между ними. В настоящем трактате принят этот последний метод исследования, поэтому мы, естественно, принимаем второе выражение как наиболее содержательную форму представления кинетической энергии.
В соответствии с нашей гипотезой мы предполагаем, что кинетическая энергия существует в любом месте, где есть магнитная сила, т.е., вообще говоря, в каждой части поля. Количество этой энергии в единице объёма равно
-
1
8π
𝑆.𝔅ℌ
,
причём эта энергия существует в форме какого-то вида движения материи в каждой части пространства.
Когда мы перейдём к рассмотрению открытия Фарадея, связанного с действием магнетизма на поляризованный свет, мы укажем причины нашей убеждённости в том, что в каждом месте, где есть линии магнитной силы, имеется вращательное движение материи вокруг этих линий; см. п. 821.
Сравнение магнитной и электрокинетической энергии
637. В п. 423 мы нашли, что взаимная потенциальная энергия двух магнитных оболочек с мощностями φ и φ', ограниченных соответственно замкнутыми кривыми 𝑠 и 𝑠', равна
-φφ'
∬
cos ε
𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
,
где ε - угол между направлениями 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠', 𝑟 - расстояние между ними.
Мы также нашли (п. 521), что взаимная энергия двух контуров 𝑠 и 𝑠', по которым текут токи 𝑖 и 𝑖', равна
𝑖𝑖'
∬
cos ε
𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
.
Если 𝑖 и 𝑖' равны соответственно φ и φ', то механическое действие между магнитными оболочками равно по величине действию между соответствующими электрическими контурами и имеет одинаковое с ним направление. В случае магнитных оболочек сила стремится уменьшить их взаимную потенциальную энергию, а в случае контуров она стремится увеличить их взаимную энергию, потому что эта энергия является кинетической.
Никаким распределением намагниченной материи невозможно воспроизвести систему, во всех отношениях соответствующую электрическому контуру, поскольку в каждой точке пространства потенциал магнитной системы однозначен, в то время как потенциал электрической системы многозначен.
Однако всегда можно при соответствующем расположении бесконечно малых электрических контуров воспроизвести систему, во всех отношениях соответствующую любой магнитной системе, при условии, что путь интегрирования, по которому мы следуем при вычислении потенциала, не проходит сквозь какой-нибудь из этих маленьких контуров. Более полно это будет объяснено в п. 833.
