Мы потом снова вернёмся к этому методу Фарадея. Перед этим нам следует перечислить теории индукции, основанные на других соображениях.
Закон Ленца
542. В 1834 г. Ленц 18 сформулировал следующее замечательное соотношение между явлениями механического действия электрических токов (так, как они были определены формулой Ампера) и индукцией электрических токов, обусловленной относительным движением проводников. Более ранняя попытка установления такого соотношения была изложена Ритчи (Ritchie) в журнале Philosophical Magazine в январе того же года, но направление индуцированного тока в каждом случае было установлено им неверно. Закон Ленца состоит в следующем:
Если в первичном контуре 𝐴 течёт постоянный ток и если при перемещении первичного контура 𝐴 или вторичного контура 𝐵 в этом вторичном контуре 𝐵 индуцируется ток, то его направление будет таким, чтобы своим электромагнитным воздействием на 𝐴 он стремился воспрепятствовать относительному перемещению контуров.
18Pogg. Ann., XXXI, p. 483 (1834).
Ф. Е. Нейман 19 основал, опираясь на этот закон, свою математическую теорию индукции, в которой установил математический закон для токов индукции, вызванных движением первичного или вторичного проводника. Он показал, что величина 𝑀, названная нами потенциалом одного контура на другом, совпадает с электромагнитным потенциалом одного контура на другом, который мы уже изучали в связи с формулой Ампера.
19Berlin Akad., 1845 and 1847.
Таким образом, мы можем считать, что математический метод, ранее применённый Ампером для описания механического действия токов, был распространён Ф. Е. Нейманом на индукцию токов.
543. Вскоре Гельмгольц в своём «Очерке о сохранении силы» 20 и сэр У. Томсон 21, занявшийся этим вопросом независимо от него, но несколько позже, сделали шаг, представляющий ещё большую научную важность. Они показали, что открытая Фарадеем индукция электрических токов может быть выведена математически путём применения принципа сохранения энергии из открытых Эрстедом и Ампером электромагнитных действий.
20 Прочитано вначале перед Берлинским физическим обществом 23 июля 1847 г. Затем переведено в «Научных трудах» Тейлора (Tailor’s «Scientific Memoirs», part II, p. 114).
21Trans. Brit. Ass., 1848 and Phil. Mag., Dec. 1851. См. также его статью «Переходные электрические токи» («Transient Electric Currents», Phil. Mag., June 1853).
Гельмгольц рассматривает случай проводящего контура с сопротивлением 𝑅, в котором действует электродвижущая сила 𝐴, возникающая от вольтовой или термоэлектрической батареи. Ток в контуре в какой-то момент времени равен 𝐼. Он предполагает, что движется вблизи контура какой-либо магнит и что его потенциал относительно проводника равен 𝑉; поэтому в течение любого малого интервала времени 𝑑𝑡 энергия, сообщаемая магниту электромагнитным действием, равна 𝐼(𝑑𝑉/𝑑𝑡)𝑑𝑡.
Работа, затраченная на образование тепла в контуре, равна (в соответствии с законом Джоуля, п. 242) 𝐼²𝑅𝑑𝑡, а работа, затраченная электродвижущей силой 𝐴 на поддержание тока 𝐼 в течение времени 𝑑𝑡, равна 𝐴𝐼𝑑𝑡. Следовательно, так как полная выполненная работа должна быть равна работе затраченной, то
𝐴𝐼𝑑𝑡
=
𝐼²𝑅𝑑𝑡
+𝐼
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝑡
.
Отсюда мы находим силу тока:
𝐴
-
𝑑𝑉
𝐼
=
𝑑𝑡
.
𝑅
Но значение 𝐴 мы можем выбрать любым по своему усмотрению. Возьмём 𝐴=0 тогда,
𝐼
=-
1
𝑅
𝑑𝑉
𝑑𝑡
,
или, иначе говоря, должен существовать ток, обусловленный движением магнита, равный току, обусловленному электродвижущей силой -(𝑑𝑉/𝑑𝑡).
Полный индуцированный ток за время движения магнита от места, где его потенциал 𝑉1, к месту, где его потенциал 𝑉2, равен
∫
𝐼
𝑑𝑡
=-
1
𝑅
∫
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝑡
=
1
𝑅
(𝑉
1
-𝑉
2
),
и, следовательно, полный ток не зависит от скорости или пути магнита, а зависит только от его начального и конечного положений.
В своём первоначальном исследовании Гельмгольц принял систему единиц, основанную на измерении тепла, образуемого током в проводнике. Рассматривая единицу тока как произвольную, мы получим, что единица сопротивления есть сопротивление проводника, в котором единичный ток за единицу времени порождает единицу тепла. Единицей электродвижущей силы в этой системе является такая, которая требуется для получения единичного тока в проводнике с единичным сопротивлением. Принятие этой системы единиц делает необходимым введение в уравнения величины 𝑎, являющейся механическим эквивалентом единицы тепла. Поскольку мы неизменно принимаем либо электростатическую, либо электромагнитную систему единиц, то этот множитель не встречается в приводимых здесь уравнениях.
544. Гельмгольц вычисляет также ток индукции для случая, когда проводящий контур и контур, несущий постоянный ток, движутся друг относительно друга.
Пусть 𝑅1, 𝑅2 будут сопротивления; 𝐼1, 𝐼2 - токи; 𝐴1, 𝐴2 - внешние электродвижущие силы, а 𝑉 - потенциал одного контура на другом при единичном токе в каждом из контуров, тогда, как и раньше, мы имеем
𝐴
1
𝐼
1
+
𝐴
2
𝐼
2
=
𝐼
1
²𝑅
1
+
𝐼
2
²𝑅
2
𝐼
1
𝐼
2
𝑑𝑉
𝑑𝑡
.
Если мы предположим, что ток 𝐼1 является первичным, а ток 𝐼2 настолько мал по сравнению с 𝐼1 что своей индукцией он не вносит ощутимого изменения в 𝐼1, так что можно положить
𝐼
1
=
𝐴1
𝑅1
,
тогда получим
𝐴
2
-𝐼
1
𝑑𝑉
𝐼
2
=
𝑑𝑡
.
𝑅
2
Этот результат может быть интерпретирован точно так же, как это было сделано в случае магнита.
Если же мы предположим, что ток 𝐼2 является первичным, а ток 𝐼1 - много меньшим 𝐼2, то для 𝐼1 получим
𝐴
1
-𝐼
2
𝑑𝑉
𝐼
1
=
𝑑𝑡
.
𝑅
1
Это показывает, что при одинаковых токах электродвижущая сила от первого контура во втором равна электродвижущей силе от второго контура в первом, какую бы форму ни имели эти контуры.
В указанной работе Гельмгольц не обсуждает случай индукции, обусловленной усилением или ослаблением первичного тока или индукции тока на самого себя. Томсон 22 применил тот же самый принцип к определению механического действия тока; он указал, что, когда работа совершается взаимодействием двух постоянных токов, их механическое действие увеличивается на ту же самую величину, и, следовательно, батарея должна обеспечить двойное количество работы по отношению к той, которая требуется для поддержания токов при преодолении сопротивления контуров 23 .
