𝑋
=
𝑋
0
+
𝐵
1
(𝑙-𝑙
0
)
+
𝐵
2
(λ-λ
0
)
,
(11)
𝑌
cos 𝑙
=
𝑋
0
cos 𝑙
0
+
𝐵
2
(𝑙-𝑙
0
)
+
𝐵
3
(λ-λ
0
)
.
(12)
Мы имеем 𝑛 уравнений вида (11) и 𝑛 уравнений вида (12). Обозначим вероятную ошибку в определении 𝑋 через ξ, а в определении 𝑌 cos 𝑙 - через η; тогда мы можем вычислить ξ и η, исходя из предположения, что они обусловлены ошибками наблюдений 𝐻 и δ.
Пусть вероятная ошибка наблюдений 𝐻 равна ℎ, а ошибка наблюдений δ равна Δ, тогда в силу
𝑑𝑋
=
cos δ⋅𝑑𝐻
-
𝐻 sin δ⋅𝑑δ
будем иметь
ξ²
=
ℎ²cos²δ
+
Δ
²𝐻²sin²δ
.
Аналогично
η²
=
ℎ²sin²δ
+
Δ
²𝐻²cos²δ
.
Если отклонения 𝑋 и 𝑌 от значений, даваемых уравнениями вида (11) и (12), значительно превышают вероятные ошибки наблюдений, можно сделать вывод о том, что они обусловлены какими-то местными притяжениями; при этом у нас нет никаких причин полагать отношение ξ и η равным какой-либо величине, отличной от единицы.
Согласно методу наименьших квадратов, умножим уравнения вида (11) на η, а уравнения вида (12) - на ξ, тем самым сделав их вероятные ошибки одинаковыми. Затем умножим каждое из уравнений на коэффициент перед одной из неизвестных величин 𝐵1, 𝐵2, или 𝐵3; сложив результаты, получим три уравнения для отыскания величин 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3:
𝑃
1
=
𝐵
1
𝑏
1
+
𝐵
2
𝑏
2
,
η²𝑃
2
+
ξ²
𝑄
1
=
𝐵
1
η²𝑏
2
+
𝐵
2
(ξ²𝑏
1
+η²𝑏
3
)
+
𝐵
3
ξ²𝑏
2
,
𝑄
2
=
𝐵
2
𝑏
2
+
𝐵
3
𝑏
3
;
Здесь для краткости обозначено
𝑏
1
=
∑
(𝑙²)
-
𝑛𝑙
0
²
,
𝑏
2
=
∑
(𝑙λ)
-
𝑛𝑙
0
λ
0
,
𝑏
3
=
∑
(λ²)
-
𝑛λ
0
²
,
𝑃
1
=
∑
(𝑙𝑋)
-
𝑛𝑙
0
𝑋
0
,
𝑄
1
∑
(𝑙𝑌cos 𝑙)
-
𝑛𝑙
0
𝑌
0
cos 𝑙
0
,
𝑃
2
=
∑
(λ𝑋)
-
𝑛λ
0
𝑋
0
,
𝑄
2
∑
(λ𝑌cos 𝑙)
-
𝑛λ
0
𝑌
0
cos 𝑙
0
.
Вычисляя 𝐵1, 𝐵2, и 𝐵3 и подставляя их в уравнения (11) и (12), мы можем найти значения 𝑋 и 𝑌 в любой точке обзорной карты в пределах, свободных от местных возмущений, обнаруживаемых там, где вблизи станций имеются магнитные породы, каковыми является большинство скал вулканического происхождения.
Обзорные карты подобного рода могут быть составлены лишь для тех стран, где имеется много станций, куда удаётся доставить и где можно установить магнитные инструменты. Для других частей Земли приходится довольствоваться отысканием распределения магнитных элементов путём их интерполяции между значениями, известными лишь в местах расположения небольшого числа станций, разнесённых друг от друга на большие расстояния.
467. Предположим теперь, что с помощью описанной выше процедуры или с помощью эквивалентного ей графического метода построения карт, содержащих линии равных значений магнитных элементов, мы узнали величины 𝑋 и 𝑌, а следовательно, и потенциал 𝑉 для всей поверхности земного шара. Следующий шаг должен состоять в разложении 𝑉 в ряд по сферическим поверхностным гармоникам.
Если бы Земля всюду внутри была однородно намагничена в одном и том же направлении, то потенциал 𝑉 был бы гармоникой первого порядка, магнитные меридианы совпадали бы с большими окружностями, проходящими через оба диаметрально противоположных магнитных полюса, а магнитный экватор был бы большой окружностью с одинаковой во всех её точках горизонтальной силой. Обозначив через 𝐻0 это постоянное значение силы, для любой другой точки с магнитной широтой 𝑙' мы бы имели 𝐻=𝐻0cos 𝑙'. Вертикальная сила в произвольной точке равнялась бы 𝑍=2𝐻0sin 𝑙' причём tg θ=2tg 𝑙', где θ - наклонение.
Магнитный экватор в случае Земли определяется как линия нулевого наклонения и не является большой окружностью сферы.
Магнитные полюса определяются как точки, в которых горизонтальная сила равна нулю, или где наклонение равно 90°. Существуют две таких точки, одна в северном, другая в южном районах, однако они не являются диаметрально противоположными, и соединяющая их линия не параллельна магнитной оси Земли.
468. Магнитные полюса - это точки, где потенциал 𝑉 на поверхности Земли имеет минимум или максимум или стационарное значение.
В любой точке, где потенциал минимален, северный конец стрелки инклинометра показывает вертикально вниз, а если где-нибудь вблизи этой точки поместить компас, то северный конец его стрелки будет указывать в сторону этой точки.
В точках, где потенциал максимален, южный конец стрелки инклинометра показывает вертикально вниз, а южный конец стрелки компаса указывает в сторону этой точки.
Если на поверхности Земли существует 𝑝 минимумов 𝑉, то должно иметься (𝑝-1) других точек, в которых северный конец стрелки инклинометра указывает вниз, но где, однако, стрелка компаса, если её обносить по окружности около такой точки, вместо того, чтобы, вращаясь, указывать неизменно северным концом на центр этой окружности, будет вращаться в противоположном направлении, поворачиваясь к центральной точке то своим северным, то южным концом.
Если точки с минимумом потенциала назвать истинными северными полюсами, то эти другие точки можно назвать ложными северными полюсами, потому что стрелка компаса по отношению к ним ведёт себя неверно. При наличии р истинных северных полюсов должно иметься (𝑝-1) ложных северных полюсов и аналогично при 𝑞 истинных южных полюсах должно быть (𝑞-1) ложных южных полюсов. Число одноимённых полюсов должно быть нечётным, так что преобладавшее одно время мнение о существовании двух северных и двух южных полюсов ошибочно. Согласно Гауссу, в действительности на земной поверхности имеется только один истинный северный полюс и только один истинный южный полюс и, следовательно, не существует ложных полюсов. Линия, соединяющая эти полюса, не совпадает с диаметром Земли и не параллельна земной магнитной оси.
