Этот потенциал можно рассматривать и в ином свете. Тело было смещено на расстояние -δ𝑥, и его плотность изменена на -ρ. В той области пространства, которая является общей для двух положений тела, плотность равна нулю, так как две равные и противоположные плотности уничтожают друг друга (пока речь идёт о притяжении). Таким образом, остаётся оболочка из положительной материи на одной стороне тела и оболочка из отрицательной материи на другой. Можно считать, что ими и создаётся результирующий потенциал. Толщина оболочки в точке, где нормаль, проведённая наружу, образует угол ε с осью 𝑥, равна δ𝑥 cos ε; и поэтому при объёмной плотности ρ поверхностная плотность равна ρδ𝑥 cos ε. Если потенциал записан в виде -(𝑑𝑉/𝑑𝑥), то поверхностная плотность окажется равной ρ cos ε.
Таким способом мы можем найти магнитный потенциал любого тела, однородно намагниченного параллельно данному направлению. Но если эта однородная намагниченность обусловлена магнитной индукцией, то магнитная сила во всех точках внутри тела также должна быть однородной и параллельной.
Эта сила состоит из двух частей: одна связана с внешними источниками, другая - с намагниченностью тела. Поэтому при однородной и параллельной внешней магнитной силе магнитная сила, связанная с намагниченностью, также должна быть однородной и параллельной во всех точках внутри тела.
Таким образом, чтобы данный метод привёл к решению задачи о магнитной Индукции, производная 𝑑𝑉/𝑑𝑥 должна быть внутри тела линейной функцией координат 𝑥, 𝑦, 𝑧, и, следовательно, потенциал 𝑉 - квадратичной функцией этих координат.
Но единственными из числа известных нам примерами, когда потенциал 𝑉 представлялся бы внутри тела квадратичной функцией координат, служат тела, Ограниченные полной поверхностью второго порядка, и единственным случаем, В котором такое тело обладало бы ограниченными размерами, является эллипсоид. Поэтому мы применим этот метод к случаю эллипсоида.
Пусть уравнение
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
+
𝑧²
𝑐²
=
1.
(1)
будет уравнением эллипсоида, а Φ0 обозначает следующий определённый интеграл:
∞
∫
0
𝑑(φ²)
√(𝑎²+φ²)(𝑏²+φ²)(𝑐²+φ²)
.
(2)
1
1 См. Томсон и Тэт «Натуральная философия» (Thomson and Tait’s Natural Philosophy, § 525, 2nd Edition).
Тогда, если положить
𝐿
=
4π𝑎𝑏𝑐
𝑑Φ0
𝑑(𝑎²)
,
𝑀
=
4π𝑎𝑏𝑐
𝑑Φ0
𝑑(𝑏²)
,
𝑁
=
4π𝑎𝑏𝑐
𝑑Φ0
𝑑(𝑐²)
,
(3)
то значение потенциала внутри эллипсоида будет равно
𝑉
0
=
-
ρ
2
(
𝐿𝑥²
+
𝑀𝑦²
+
𝑁𝑧²
)+const.
(4)
Если эллипсоид намагничен однородно с интенсивностью 𝐼 в направлении, которое относительно осей 𝑥, 𝑦, 𝑧 имеет направляющие косинусы 𝑙, 𝑚, 𝑛, так что составляющие намагниченности этого эллипсоида равны 𝐴=𝐼𝑙, 𝐵=𝐼𝑚, 𝐶=𝐼𝑛, то потенциал, обусловленный такой намагниченностью внутри соленоида, будет
Ω
=
-𝐼(
𝐿𝑙𝑥
+
𝑀𝑚𝑦
+
𝑁𝑛𝑧
).
(5)
Если внешняя магнитная сила равна ℌ, а её составляющие - 𝑉, 𝑊, 𝑋, то её потенциал будет равен
𝑉
=
-(
𝑋𝑥
+
𝑌𝑦
+
𝑍𝑧
).
(6)
Поэтому составляющие истинной намагничивающей силы в произвольной точке тела равны
𝑋+𝐴𝐿,
𝑌+𝐵𝑀,
𝑍+𝐶𝑁.
(7)
Наиболее общая связь между намагниченностью и намагничивающей силой задаётся тремя линейными уравнениями, содержащими девять коэффициентов. Для выполнения закона сохранения энергии в случае магнитной индукции необходимо, однако, чтобы три из них были бы соответственно равны трём другим, т.е. чтобы мы имели
𝐴
=
ϰ
1
(𝑋+𝐴𝐿)
+
ϰ'
3
(𝑌+𝐵𝑀)
+
ϰ'
2
(𝑍+𝐶𝑁)
,
𝐵
=
ϰ'
3
(𝑋+𝐴𝐿)
+
ϰ
2
(𝑌+𝐵𝑀)
+
ϰ'
1
(𝑍+𝐶𝑁)
,
𝐶
=
ϰ'
2
(𝑋+𝐴𝐿)
+
ϰ'
1
(𝑌+𝐵𝑀)
+
ϰ
3
(𝑍+𝐶𝑁)
.
(8)
Из этих уравнений можно выразить 𝐴, 𝐵, 𝐶 через 𝑋, 𝑌, 𝑍 и получить наиболее общее решение задачи.
Потенциал вне эллипсоида будет складываться из потенциала, обусловленного намагниченностью эллипсоида, и потенциала внешней магнитной силы.
438. Единственным практически важным является случай, в котором
ϰ'
1
=
ϰ'
2
=
ϰ'
3
=
0.
(9)
Тогда мы имеем
𝐴
=
ϰ1
1-ϰ1𝐿
𝑋
,
𝐵
=
ϰ2
1-ϰ2𝑀
𝑌
,
𝐶
=
ϰ3
1-ϰ3𝑁
𝑍
.
(10)
Если эллипсоид имеет две одинаковых оси и является эллипсоидом планетарной или сплюснутой формы, то
𝑏
=
𝑐
=
𝑎
√1-𝑒²
,
(11)
𝐿
=
-4π
⎛
⎜
⎝
1
𝑒²
-
√1-𝑒²
𝑒³
arcsin 𝑒
⎞
⎟
⎠
,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
𝑀=𝑁
=
-2π
⎛
⎜
⎝
√1-𝑒²
𝑒³
arcsin 𝑒
-
1-𝑒²
𝑒²
⎞
⎟
⎠
.
(12)
Если эллипсоид имеет яйцевидную или вытянутую форму, то
𝑎
=
𝑏
=
√
1-𝑒²
𝑐
,
(13)
𝐿=𝑀
=
-2π
⎛
⎜
⎝
1
𝑒²
-
1-𝑒²
2𝑒²
ln
1+𝑒
1-𝑒
⎞
⎟
⎠
,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
𝑁
=
-4π
⎛
⎜
⎝
1
𝑒²
-1
⎞
⎟
⎠
⎛
