𝐴
=
ϰα
,
𝐵
=
ϰβ
,
𝐶
=
ϰγ
.
(3)
Умножив эти уравнения соответственно на 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 и сложив, найдём
𝐴𝑑𝑥
+
𝐵𝑑𝑦
+
𝐶𝑑𝑧
=
ϰ(
α𝑑𝑥
+
β𝑑𝑦
+
γ𝑑𝑧
).
Но, поскольку α, β и γ получаются из потенциала 𝑈, мы можем записать второй член как -ϰ𝑑𝑈.
Следовательно, если коэффициент ϰ всюду внутри вещества постоянен, то первый член также должен быть полным дифференциалом некоторой функции 𝑥, 𝑦 и 𝑧, которую мы назовём φ, после чего уравнение принимает вид
𝑑φ
=
-ϰ𝑑𝑈
.
(4)
где
𝐴
=
𝑑φ
𝑑𝑥
,
𝐵
=
𝑑φ
𝑑𝑦
,
𝐶
=
𝑑φ
𝑑𝑧
.
(5)
Следовательно, по определению, принятому в п. 412, намагниченность является ламеллярной.
В п. 385 было показано, что объёмная плотность свободного магнетизма ρ равна
ρ
=-
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐴
𝑑𝑥
+
𝑑𝐵
𝑑𝑦
+
𝑑𝐶
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
,
или с учётом уравнений (3)
ρ
=
-ϰ
⎛
⎜
⎝
𝑑α
𝑑𝑥
+
𝑑β
𝑑𝑦
+
𝑑γ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
.
Но из п. 77
𝑑α
𝑑𝑥
+
𝑑β
𝑑𝑦
+
𝑑γ
𝑑𝑧
=
-4πρ
.
Поэтому (1+4πϰ)ρ=0, откуда следует, что
ρ
=
0
.
(6)
внутри всего вещества, и поэтому намагниченность оказывается и соленоидальной, и ламеллярной, см. п. 407.
Таким образом, свободного магнетизма нет нигде, кроме поверхности, ограничивающей тело. Если обозначить через ν нормаль, проведённую внутрь от поверхности, то магнитная поверхностная плотность будет равна
σ
=
𝑑φ
𝑑ν
.
(7)
Поэтому потенциал Ω в произвольной точке, создаваемый этой намагниченностью, можно найти из поверхностного интеграла
Ω
=
∬
σ
𝑟
𝑑𝑆
.
(8)
Значения Ω всюду конечны, непрерывны и удовлетворяют уравнению Лапласа в каждой точке внутри и вне поверхности. Если пометить штрихом потенциал Ω вне поверхности и обозначить через ν' нормаль, проведённую наружу, то на поверхности будем иметь
Ω
'
=
Ω
;
(9)
𝑑Ω
𝑑ν
+
𝑑Ω'
𝑑ν'
=
-4πσ
(см. п. 78б),
=
4π
𝑑φ
𝑑ν
(см. (7)),
=
-4πϰ
𝑑𝑈
𝑑ν
(см. (4)),
=
-4πϰ
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉
𝑑ν
+
𝑑Ω
𝑑ν
⎞
⎟
⎠
(см. (2)).
Таким образом, мы можем записать второе условие на поверхности:
(
1
+
4πϰ
)
𝑑Ω
𝑑ν
+
𝑑Ω'
𝑑ν'
+
4πϰ
𝑑𝑉
𝑑ν
=
0.
(10)
Итак, определение магнетизма, индуцированного в однородном изотропном ограниченном поверхностью 𝑆 теле, находящемся под действием внешних магнитных сил, потенциал которых равен 𝑉, может быть сведено к следующей математической задаче.
Мы должны найти две функции Ω и Ω', удовлетворяющие следующим условиям.
Внутри поверхности 𝑆 функция Ω должна быть конечной, непрерывной и должна удовлетворять уравнению Лапласа.
Вне поверхности 𝑆Ω должна быть конечной и непрерывной, она должна обращаться в нуль при бесконечном удалении от 𝑆 и удовлетворять уравнению Лапласа.
В каждой точке самой поверхности должно выполняться равенство Ω=Ω', а производные от функции Ω, Ω' и 𝑉 по нормали должны удовлетворять уравнению (10).
Такой подход к формулировке задачи об индуцированном магнетизме принадлежит Пуассону. Величина 𝑘, которую он использует в своих трудах, отличается от величины ϰ - они связаны между собой следующим соотношением:
4πϰ
(𝑘-1)
+
3𝑘
=
0.
(11)
Коэффициент ϰ, который мы здесь использовали, был введён Ф. Е. Нейманом.
428. Проблему индуцированного магнетизма можно рассматривать и другим способом, введя величину, которую мы, следуя Фарадею, назвали Магнитной Индукцией.
Связь между магнитной индукцией 𝔅, магнитной силой ℌ и намагниченностью 𝔍 выражается уравнением
𝔅
=
ℌ
+
4π𝔍
.
(12)
Индуцированная намагниченность выражается через магнитную силу следующим уравнением:
𝔍
=
ϰℌ
.
(13)
Отсюда, исключая 𝔍, находим
𝔅
=
(1+4πϰ)ℌ
,
(14)
что и является связью между магнитной индукцией и магнитной силой в веществах, намагниченность которых индуцирована магнитной силой.
В самом общем случае ϰ может быть функцией не только положения точки в веществе, но и направления вектора ℌ, однако в случае, который мы сейчас рассматриваем, ϰ является числом.
Если далее записать
μ
=
1
+
4πϰ
,
(15)
то можно определить μ как отношение магнитной индукции к магнитной силе и называть это отношение магнитной индуктивной способностью вещества, отличая её, таким образом, от коэффициента индуцированной намагниченности ϰ.
Если обозначить через 𝑈 полный магнитный потенциал, составленный из потенциала внешних источников 𝑉 и потенциала Ω, обусловленного индуцированной намагниченностью, то можно выразить составляющие 𝑎, 𝑏, 𝑐 магнитной индукции и составляющие α, β, γ магнитной силы следующим образом:
𝑎
=
μα
=
-μ
𝑑𝑈
𝑑𝑥
,
𝑏
=
μβ
=
-μ
𝑑𝑈
𝑑𝑦
,
𝑐
=
μγ
=
