𝑑𝑦
𝑑𝑠
𝑑𝑠
,
𝐻
=
∫
1
𝑟
𝑑𝑧
𝑑𝑠
𝑑𝑠
,
(9)
где интегралы берутся однократно по замкнутой кривой 𝑠; тогда этот член в выражении для Π можно представить в виде
𝑑η
𝑑σ
𝑑²𝐻
𝑑ξ𝑑𝑠
,
а соответствующий ему член в ∫Π𝑑𝑠 будет
𝑑η
𝑑σ
𝑑𝐻
𝑑ξ
.
Собрав все члены, входящие в Π, мы можем теперь записать
-
𝑑ω
𝑑σ
=
-
∫
Π
𝑑𝑠
=
=
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐻
𝑑η
-
𝑑𝐺
𝑑ζ
⎞
⎟
⎠
𝑑ξ
𝑑σ
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑ζ
-
𝑑𝐻
𝑑ξ
⎞
⎟
⎠
𝑑η
𝑑σ
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐺
𝑑ξ
-
𝑑𝐹
𝑑η
⎞
⎟
⎠
𝑑ζ
𝑑σ
.
(10)
Эта величина является, очевидно, скоростью уменьшения магнитного потенциала ω при прохождении вдоль кривой σ, или, другими словами, она представляет собой магнитную силу в направлении 𝑑σ.
Полагая элемент 𝑑σ поочерёдно направленным вдоль осей 𝑥, 𝑦 и 𝑧, для значений составляющих магнитной силы получим
α
=-
𝑑ω
𝑑ξ
=
𝑑𝐻
𝑑η
-
𝑑𝐺
𝑑ζ
,
β
=-
𝑑ω
𝑑η
=
𝑑𝐹
𝑑ζ
-
𝑑𝐻
𝑑ξ
,
γ
=-
𝑑ω
𝑑ζ
=
𝑑𝐺
𝑑ξ
-
𝑑𝐹
𝑑η
.
(11)
Величины 𝐹, 𝐺, 𝐻 являются составляющими вектор-потенциала магнитной оболочки единичной мощности, краем которой служит кривая 𝑠. В отличие от скалярного потенциала ω, они не относятся к функциям, принимающим целый ряд значений, а являются совершенно определёнными для каждой точки пространства.
Вектор-потенциал, создаваемый в точке 𝑃 магнитной оболочкой, ограниченной замкнутой кривой, можно найти путём следующих геометрических построений.
Пусть точка 𝑄 движется вдоль замкнутой кривой со скоростью, численно равной её расстоянию от точки 𝑃, а вторая точка 𝑅 выходит из некоторой фиксированной точки 𝐴 и движется с единичной скоростью в направлении, всюду параллельном направлению движения 𝑄. Когда точка 𝑄 обойдёт один раз замкнутую кривую, соединим точки 𝐴 и 𝑅 отрезком прямой. Отрезок 𝐴𝑅 по направлению и по величине представляет собой вектор-потенциал, создаваемый замкнутой кривой в точке 𝑃.
Потенциальная энергия магнитной оболочки, помещённой в магнитное поле
423. Мы уже показали в п. 410, что потенциальная энергия оболочки с мощностью φ, помещённой в магнитное поле с потенциалом 𝑉, равна
𝑀
=
φ
∬
⎛
⎜
⎝
𝑙
𝑑𝑉
𝑑𝑥
+
𝑚
𝑑𝑉
𝑑𝑦
+
𝑚
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑆
,
(12)
где 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы внешней нормали к оболочке, проведённой наружу с положительной стороны; поверхностный интеграл берётся по всей оболочке.
Этот поверхностный интеграл можно теперь преобразовать в криволинейный с помощью вектор-потенциала магнитного поля, записав
𝑀
=
-φ
∫
⎛
⎜
⎝
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝐺
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
,
(13)
где интегрирование производится однократно по замкнутой кривой 𝑠, ограничивающей магнитную оболочку, а 𝑑𝑠 направлено против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оболочки.
Если предположить теперь, что магнитное поле создаётся второй магнитной оболочкой, имеющей мощность φ', то можно определить величину 𝐹 непосредственно из результатов п. 416 или из п. 405. Если 𝑙', 𝑚', 𝑛' - направляющие косинусы нормали к элементу второй оболочки, то мы имеем
𝐹
=
φ'
∬
⎛
⎜
⎝
𝑚'
𝑑
𝑑𝑧'
1
𝑟
-
𝑛'
𝑑
𝑑𝑦'
1
𝑟
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑆'
,
где 𝑑 - расстояние между элементом 𝑑𝑆' и точкой на границе первой оболочки.
Далее этот поверхностный интеграл также можно преобразовать в криволинейный, взятый по границе второй оболочки, а именно
φ'
∫
1
𝑟
𝑑𝑥'
𝑑𝑠'
𝑑𝑠'
.
(14)
Аналогично
𝐺
=
φ'
∫
1
𝑟
𝑑𝑦'
𝑑𝑠'
𝑑𝑠'
,
𝐻
=
φ'
∫
1
𝑟
𝑑𝑧'
𝑑𝑠'
𝑑𝑠'
.
Подставляя эти величины в выражение для 𝑀, находим
𝑀
=
-φφ'
∬
1
𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥
𝑑𝑠
𝑑𝑥'
𝑑𝑠'
+
𝑑𝑦
𝑑𝑠
𝑑𝑦'
𝑑𝑠'
+
𝑑𝑧
𝑑𝑠
𝑑𝑧'
𝑑𝑠'
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
,
(15)
где интегрирование выполняется однократно по кривой 𝑠 и однократно по 𝑠'. Это выражение даёт потенциальную энергию, обусловленную взаимодействием двух оболочек, и, как это и должно быть, оно не изменяется от перестановки 𝑠 и 𝑠'. Взятое с обратным знаком при мощности обеих оболочек, равной единице, это выражение называется потенциалом двух замкнутых кривых 𝑠 и 𝑠'. Оно имеет большое значение в теории электрических токов. Если обозначить через ε угол между направлениями элементов 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠', можно записать потенциал 𝑠 и 𝑠' в виде
∬
cos ε
𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
.
(16)
Очевидно, что эта величина имеет размерность длины.
ГЛАВА IV
ИНДУЦИРОВАННАЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ
424. Среди исследуемых величин мы рассматривали до сих пор истинное распределение намагниченности в магните, как распределение, заданное в явном виде. При этом мы не делали никаких предположений относительно того, является ли эта намагниченность постоянной или временной, кроме тех мест в наших рассуждениях, где допускалось, что магнит разламывается на малые доли, или где считалось, что небольшие участки магнита удаляются из него таким способом, при котором намагниченность других его частей остаётся неизменной.
