𝑑ω
=
Π
𝑑𝑠
𝑑σ
.
(1)
Чтобы найти Π, предположим, что точка 𝑃 неподвижна, а замкнутая кривая перемещается параллельно самой себе на расстояние 𝑑σ, равное 𝑃𝑃', но в противоположном направлении. При этом относительное движение точки 𝑃 будет таким же, как и в действительности.
Во время этого движения элемент 𝑄𝑄' прочертит площадь в виде параллелограмма, стороны которого параллельны и равны 𝑄𝑄' и 𝑃𝑃'. Если, взяв этот параллелограмм в качестве основания, построить пирамиду с вершиной в точке 𝑃, то телесный угол этой пирамиды будет равен искомому приращению 𝑑ω.
Для того чтобы определить значение этого телесного угла, обозначим через θ и θ' углы, которые образуют соответственно 𝑑𝑠 и 𝑑σ с 𝑃𝑄, через φ - угол между плоскостями этих углов. Тогда площадь проекции параллелограмма 𝑑𝑠𝑑σ на плоскость, перпендикулярную 𝑃𝑄 или 𝑟, будет равна 𝑑𝑠𝑑σ sin θ sin θ' sin φ, и, поскольку она равна 𝑟²𝑑ω, находим
𝑑ω
=
Π
𝑑𝑠
𝑑σ
=
1
𝑟²
sin θ sin θ' sin φ
𝑑𝑠𝑑σ
.
(2)
Откуда
Π
=
1
𝑟²
sin θ sin θ' sin φ
𝑑𝑠𝑑σ
.
(3)
420. Мы можем выразить углы θ, θ' и φ через 𝑟 и его производные по 𝑠 и σ:
cos θ
=
𝑑𝑟
𝑑𝑠
,
cos θ'
=
𝑑𝑟
𝑑σ
,
sin θ
sin θ'
cos φ
=
𝑟
𝑑²𝑟
𝑑𝑠𝑑σ
.
(4)
Для Π² таким образом, находим следующее выражение:
Π²
=
1
𝑟4
⎡
⎢
⎣
1
-
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑟
𝑑𝑟
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1
-
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑟
𝑑σ
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
-
1
𝑟²
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑟
𝑑𝑠𝑑σ
⎞²
⎟
⎠
.
(5)
Третье выражение для Π через прямоугольные координаты можно вывести, исходя из того соображения, что объём пирамиды с телесным углом 𝑑ω и стороной 𝑟 равен
1
3
𝑟³
𝑑ω
=
1
3
𝑟³
Π
𝑑𝑠
𝑑σ
.
Но объём этой же пирамиды можно выразить также через проекции 𝑟, 𝑑𝑠 и 𝑑σ на оси 𝑥, 𝑦, и 𝑧 он равен одной трети детерминанта, образованного из этих девяти проекций. Таким образом, для значения Π находим
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
ξ-𝑥,
η-𝑦,
ζ-𝑧,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Π
=
-
1
𝑟³
𝑑ξ
𝑑σ
,
𝑑η
𝑑σ
,
𝑑ζ
𝑑σ
𝑑𝑥
𝑑𝑠
,
𝑑𝑦
𝑑𝑠
,
𝑑𝑧
𝑑𝑠
.
(6)
Это выражение даёт значение Π, лишённое неоднозначности в выборе знака, внесённой уравнением (5).
421. Теперь для телесного угла ω с вершиной в точке 𝑃, опирающегося на замкнутую кривую, можно записать
ω
=
∬
Π
𝑑𝑠
𝑑σ
+
ω
0
,
(7)
где интегрирование по 𝑠 производится по всей замкнутой кривой, а по σ - от некоторой фиксированной точки 𝐴 до точки 𝑃. Константа ω0 равна значению телесного угла в точке 𝐴. Она обращается в нуль, если точка 𝐴 находится на бесконечном расстоянии от замкнутой кривой.
Значение ω в произвольной точке 𝑃 не зависит от формы кривой между точками 𝐴 и 𝑃 при условии, что эта кривая не проходит через саму магнитную оболочку. Если оболочка предполагается бесконечно тонкой, а точки 𝑃 и 𝑃' расположенными рядом, но 𝑃 - на положительной стороне оболочки, а 𝑃' - на отрицательной, то кривые 𝐴𝑃 и 𝐴𝑃' должны лежать по разные стороны от края оболочки, так что линия 𝑃𝐴𝑃' вместе с бесконечно короткой линией 𝑃𝑃' образует замкнутый контур, охватывающий край оболочки. Значение ω в точке 𝑃 превышает значение ω в точке 𝑃' на 4π, т.е. на величину поверхности сферы единичного радиуса.
Поэтому, если замкнутая кривая проведена так, что она проходит сквозь оболочку один раз, или, другими словами, является однократно сцепленной с её краем, то значение интеграла ∬Π𝑑𝑠𝑑σ, взятого по обеим замкнутым кривым, равно 4π.
Следовательно, этот интеграл, зависящий только от замкнутой кривой 𝑠 и произвольной кривой 𝐴𝑃, является примером многозначной функции, так как, если переходить из 𝐴 в 𝑃 различными путями, интеграл будет принимать различные значения в соответствии с тем, сколько раз кривая 𝐴𝑃 обернётся вокруг кривой 𝑠.
Если одна кривая между точками 𝐴 и 𝑃 может быть трансформирована в другую непрерывным её перемещением без пересечения кривой 𝑠, то интеграл будет иметь одинаковые значения для обеих кривых; если же в процессе трансформации она пересечёт замкнутую кривую 𝑛 раз, значения интеграла будут отличаться на 4π𝑛.
Таким образом, для двух произвольных замкнутых в пространстве кривых 𝑠 и σ, не сцепленных друг с другом, интеграл, взятый однократно по обеим кривым, равен нулю.
Если же кривые охватывают друг друга 𝑛 раз в одном и том же направлении, значение интеграла равно 4π𝑛. Возможно, однако, что две кривые охватывают друг друга попеременно в противоположных направлениях, оставаясь неразделимо сцепленными друг с другом при равном нулю значении интеграла, см. рис. 4.
Рис. 4
Открытие Гауссом этого интеграла, выражающего работу, совершаемую магнитным полюсом при его движении по замкнутой кривой в присутствии замкнутого электрического тока, и характеризующего геометрическую связанность двух замкнутых кривых, побудило его сетовать на слабое развитие Геометрии Положений (топологии) со времён Лейбница, Эйлера и Вандермонда. Сейчас, однако, мы уже можем говорить о некотором прогрессе, обязанном Риману, Гельмгольцу и Листингу.
422. Исследуем теперь результат интегрирования по 𝑠 вдоль замкнутой кривой.
Один из членов, определяющих Π в уравнении (7), равен
-
ξ-𝑥
𝑟³
𝑑η
𝑑σ
𝑑𝑧
𝑑𝑠
=
𝑑η
𝑑σ
𝑑
𝑑ξ
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
.
(8)
Для краткости запишем
𝐹
=
∫
1
𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑠
𝑑𝑠
,
𝐺
=
∫
1
𝑟
