можно соотношению (14) придать окончательный (для случая магнитостатики) вид:
div 𝑇⃡
𝑚
=-
1
4π
𝐇
×
rot 𝐇
+
1
4π
𝐇 div 𝐇
=
1
𝑐
𝐣
𝑒
пр
×
𝐇
.
(15)
Именно эта формула и приводится Максвеллом в п. 642-644. Обобщение состоит в замене 𝐣𝑒пр→𝐣𝑒пр+𝐣𝑒см. Таким образом, уравнение (22) п. 644 подтверждает итоговое уравнение (С).
Однако в переменных полях соотношение (15) следует сложить с двойственным ему соотношением для электрической части тензора напряжений
div 𝑇⃡
𝑒
=
1
4π
𝐄 div 𝐄
-
1
4π
𝐄× rot 𝐄
=
ρ
𝑒
𝐄
+
1
4π𝑐
𝐄×
∂𝐇
∂𝑡
(16)
и в результате взамен максвелловской формулы (С) получить выражение (12).
Конечно, с помощью современного оперативного формализма, следуя Хевисайду, восстановление дуальной симметрии в выражении для силы (15) и (16) выглядит почти как очевидное. Но следует напомнить, что в «Трактате» вопрос о симметрии не обсуждался в столь общей постановке и, более того, его выяснение было отчасти затруднено отсутствием выписанного в явном виде уравнения (2). Вполне возможно, что это было причиной ненаписания последнего члена в (12) и (16).
Заметим в конце, что мы ограничились здесь комментированием только основных уравнений в их «итоговом» приведении (А)-(γ). Однако в тексте «Трактата» имеется несколько важных разбросанных замечаний, позволивших впоследствии обобщить эти уравнения на случай движущихся сред при наличии конвективных токов и т.д.
6. Незавершённость
Когда выстраивается новая система взглядов, охватывающая все явления ранее считавшиеся независимыми, разрозненными, как-то несправедливо говорить о незавершённости монографии, где впервые дано последовательное изложение основ теории и где не только установлены её общие уравнения, но и приоткрыты тайны «феномена осенения» - скачка мысли в направлении, показавшемся сначала просто правильным, а потом оказавшемся единственно правильным. И всё же в отличие от «Начал» Ньютона - а максвелловский «Трактат» может быть отнесён по некоторым критериям к следующей за ними вехе в истории познания мира (заметим, кстати, что по-латыни они не «Начала», а «Принципы», т. е. главные положения) - в «Трактате» нет такого широкого панорамного разворота применений найденных уравнений. Максвелл прожил недолгую жизнь (1831- 1879) и до самой кончины, даже в последней болезни продолжал работать над «Трактатом», так что при других, более благоприятных, стечениях обстоятельств мы могли бы унаследовать от него второе издание «Трактата», как принято сейчас писать, полностью переработанное и улучшенное. Он, конечно же, не успел воспользоваться всеми плодами своих уравнений и в продвижении по «дедуктивному спуску» ограничился лишь некоторыми демонстрациями. Но это были впечатляющие примеры.
Прежде всего, уравнениям подчинились все законы электростатических, магнитостатических, стационарно-токовых и квазистационарных полей и стало возможным понять точность соответствующих приближений. Далее, Максвелл извлёк из найденных им уравнений несомненно наиболее представительное решение для произвольно быстрого изменения полей во времени и пространстве - плоские электромагнитные волны в однородной среде, распространяющиеся со скоростью света и способные переносить энергию и импульс. Это был Триумф Великого Объединения - электричества, магнетизма и оптики, предсказанного ещё Фарадеем. И, как мы понимаем теперь, гакие решения можно воспринимать как фундаментальные: их суперпозиция (в линейном случае) даёт любое распределение поля, удовлетворяющее уравнениям Максвелла, так что в известном смысле оба описания - через уравнения или через совокупность фундаментальных решений - эквивалентны. Наконец, Максвелл наметил схему объяснения «воздействия магнетизма на свет», т.е. фарадеевского эффекта вращения плоскости поляризации в замагниченной среде - прообраза будущих параметрических и нелинейных электромагнитных эффектов.
Среди максвелловедов (людей, изучающих не только особенности творения, но и свойства Творца) бытует несколько очевидных «эвристических недоумений» типа «странно, что Максвелл не обратил внимание на…». И ведь действительно странно, что он, получив электромагнитную волну для свободного значения частоты, ограничился только оптическими приложениями, ни словом не упомянув о возможности существования электромагнитных волн в более низкочастотных диапазонах. По-видимому, и не нужно искать всему этому каких-либо особых объяснений. Прошло более 115 лет со времени выхода первого издания «Трактата», а исследования содержательности максвелловских уравнений не ослабевают. Максвеллу удалось проникнуть в одну из самых ёмких сокровищниц Природы, оценить масштабы богатств которой люди смогли только за несколько поколений. Освоить их одному смертному, даже такому великому и радивому, как Максвелл, было не по силам; тем более ещё не спало «волнение достижения» и ещё оставалась известная неуверенность в исчерпывающей полноте найденных законов.
Поэтому если и имеет смысл обсуждать какую-то незавершённость «Трактата», то только в узком смысле, рабочую незавершённость, касающуюся некоторых вопросов, которые Максвелл по характеру предшествующего материала, казалось, должен был затронуть и замкнуть. Выше указывалось на них. Так, сходство структур электростатических и магнитостатических полей позволило Максвеллу подробнейшим образом проследить, как сопоставляются их математические описания и тем самым установить статический вариант принципа двойственности (иногда говорят, перестановочной двойственности, чтобы отойти от терминологического совпадения с дифракционным принципом Бабине). Естественно было бы завершить это сопоставление формулировкой общего принципа, что относительно быстро и случилось потом (Хевисайд, 1885-1891 гг.), но, понятно, что это произошло лишь после «восстановления» уравнения (2).
Вторая рабочая незаконченность относится к законам сохранения энергии, импульса и момента импульса. И здесь Маквелл ещё в статических разделах «Трактата» отрабатывает многие тонкие моменты, связанные с этими понятиями, опираясь на них потом в обобщениях на быстропеременные поля, но всё же последний шаг остался не сделанным, хотя математически любые законы сохранения могли, быть сформулированы по типу уравнения непрерывности (div 𝐮ρ+(∂ρ/∂𝑡)), так всесторонне (и модельно, и отвлечённо) разработанному в «Трактате» на примере закона сохранения электрического (7) и магнитного (10) зарядов.
Наконец, несколько слов о полях и потенциалах. Максвелл тщательно продумывал измерительную (метрологическую) сторону вопроса, связанного с введением электромагнитных полей (см. Предварительную главу), и мог высказаться поэтому поводу в главах X и XI части IV после обсуждения уравнения электродинамики. Недаром же у него уравнение (С) для механической силы записано через поля, а не через потенциалы. Таким образом, он должен был выйти на утверждение об измеримости полей и вспомогательности потенциалов в общем случае, тем более что опять же в статике и квазистатике эти моменты им не были опущены.
Возможно, что к перечню сему можно присоединить ещё несколько обоснованных домыслов, например, об описаниях полей в движущихся системах отсчёта, об обобщениях материальных уравнений ит. п. Однако и без того эти рассуждения выглядят несколько спекулятивно, т.е. основываются скорее не на доводах, а на отсутствии контрдоводов.
И всё же особого замечания заслуживает вопрос об инвариантности уравнений относительно преобразований координат и времени. Максвелл был первым человеком, который придал установленным им законам Природы релятивистски инвариантный облик; однако он не акцентировал своё достижение, предоставив это сделать впоследствии другим (Фитцжеральд, Лоренц, Пуанкаре, Эйнштейн). Вообще говоря, преобразования, которые мы называем лоренцовыми, могли бы быть написаны ещё в XVIII в. при изучении одномерного волнового уравнения (уравнения струны, например), но они наверняка рассматривались бы тогда, как некое забавное, чисто формальное, свойство уравнения.
