Однако дуальность заведомо должно быть соблюдена при чисто абстрактном использовании магнитных зарядов, основанном на переопределении токовых источников поля по правилам (β): ρ𝑚=-div 𝐌, где 𝐌 - вектор намагничения, отыскиваемый как одно из возможных решений интегрального уравнения вида
𝐦
=
1
2𝑐
∫
𝑉
𝐣
𝑒
пр
×
𝐫𝑑𝑉
=
∫
𝑉
𝐌
𝑑𝑉
,
что отвечает двум рецептам введения магнитного момента: для системы токов и для системы зарядов.
Таким образом, в выражении (С) нет излишеств, но приведено одновременно два выражения для силы, действующей на токи или на магнитные заряды в зависимости от предпочитаемого описания фактических источников магнитного поля. Однако, строго говоря, при зарядовом описании в уравнение (С) должен быть введён ещё один член, связанный с появлением магнитных токов. Действительно, по смыслу введения магнитных зарядов в уравнения поля как источников этого поля (фиктивных или реальных) они должны удовлетворять закону сохранения, и, значит, любое изменение во времени плотности ρ𝑚 сопровождается подтеканием или оттеканием магнитного тока (фиктивного или реального) с плотностью 𝐣𝑚:
div
𝐣
𝑚
=-
∂ρ𝑚
∂𝑡
.
(10)
Уравнение непрерывности (10) двойственно (𝐣𝑒→𝐣𝑚, ρ𝑒→ρ𝑚) уравнению непрерывности (7). И потому последовательный учёт принципа двойственности в задаче о механическом действии электромагнитного поля на источники (строго говоря, конечно, на «носители источников») должен в общем случае дополнить (С) членом
1
𝑐
𝐣
𝑚
×
𝐃
.
И, наконец, последнее замечание, также относящееся к выражению (С). В той части силы, которая определяет воздействие поля на токи (строго говоря, конечно, на носители токов), Максвелл оперирует не с током проводимости, а с истинным током, дополнительно содержащим ещё и ток смещения. Это отличает соотношение (С) от используемого нами теперь. Разница обусловлена несколько иным определением понятия силы (во-первых) и отсутствием ещё одного члена, двойственного члену с электрическим током смещения (во-вторых). Поскольку вопрос представляет не только исторический интерес, остановимся на нём подробнее. Без ущемления сути дела в целях сокращения формул положим сразу ε=1, μ=1, т.е. будем рассматривать силы, действующие на заряды и токи в вакууме.
Закон сохранения импульса в этом случае принимает вид
div 𝑇⃡
-
∂𝐠
∂𝑡
=
𝐟
мех
,
(11)
где
𝐟
мех
=
ρ
𝑒
𝐄
+
1
𝑐
𝐣
𝑒
пр
×
𝐇
,
𝐠
=
1
4π𝑐
𝐄
×
𝐇
,
𝑇⃡
→
𝑇
αβ
=
1
4π
(𝐸
α
𝐸
β
+𝐻
α
𝐻
β
)
-
1
8π
δ
αβ
(𝐸²+𝐻²)
.
Здесь 𝐠 - плотность электромагнитного импульса, 𝑇αβ - тензор напряжения, дающий поток импульса (втекающий, а не вытекающий, внутрь объёма, где находятся источники - отсюда и различие в знаках по сравнению с обычной записью законов сохранения). Соотношение (11) может быть переписано в несколько ином виде, если ввести понятие «обобщённой» силы, включающей в себя наряду с обычной механической (по нашей терминологии - лоренцовой) силой ещё и изменение электромагнитного импульса
div 𝑇⃡
=
𝐟
∑
=
𝐟
мех
+
∂𝐠
∂𝑡
=
=
ρ
𝑒
𝐄
1
𝑐
𝐣
𝑒
пр
×
𝐇
+
1
𝑐
𝐣
𝑒
см
×
𝐇
+
1
4π𝑐
𝐄
×
∂𝐇
∂𝑡
.
(12)
Сравнивая выражение для 𝐟∑ в (12) с максвелловской формулой (С) (где для однозначности подхода нужно сразу же положить ρ𝑚), нетрудно обнаружить, что они отличаются только наличием дополнительного члена в (12)
1
4π𝑐
𝐄
×
∂𝐇
∂𝑡
=-
1
𝑐
𝐣
𝑚
см
×
𝐄
,
(13)
которому может быть придан вид, сходный с лоренцовым, если ввести условно «магнитный ток смещения»:
𝐣
𝑚
см
=
1
4π
∂𝐇
∂𝑡
.
Следовательно, формулы (11) или (12) допускают такую дуально симметричную запись:
div 𝑇⃡
=
𝐟
∑
=
ρ
𝑒
𝐄
+
ρ
𝑚
𝐇
+
1
𝑐
𝐣
𝑚
пол
×
𝐇
-
1
𝑐
𝐣
𝑒
пол
×
𝐄
.
Причина отсутствия у Максвелла добавочного члена (13) отчасти раскрывается в п. 641-643, где он выводит выражение для механической силы, дифференцируя тензор напряжений (его магнитную часть), и проводит соответствующие обобщения на переменные во времени процессы. Воспроизведём это вычисление в наших обозначениях. Если в магнитостатике задан тензор
𝑇
𝑚
αβ
=
1
4π
𝐻
α
𝐻
β
-
1
4π
δ
αβ
𝐻²
,
то его дивергенция равна
∂𝑇
𝑚
αβ
∂𝑥
β
=
1
4π
∂
𝑥β
𝐻
α
𝐻
β
-
1
8π
∂
𝑥β
δ
αβ
𝐇²
=
1
4π
𝐻
β
∂𝐻α
𝑥β
+
1
4π
𝐻
α
∂𝐻β
𝑥β
-
1
8π
∇
α
𝐇²
=
=
1
4π
(𝐇∇)
𝐻
α
+
1
4π
𝐻
α
div 𝐇
-
1
8π
∇
α
𝐇²
.
(14)
Здесь по дважды встречающимся индексам проводится суммирование
⁔
β,β
≡
3
∑
β=1
.
Приняв во внимание тождество
∇𝐇²
=
2(𝐇∇)𝐇
+
2𝐇
×
rot 𝐇
,
