7 Описание послетрактатиой истории максвелловской электродинамики в той её части, которая свизаиа с именем Хевисайда, приведено в книге Б. М. Болотовского [9], к которой мы отсылаем читателя.
Напомним, что кватернионом называется объект, состоящий из четырёх компонент: одного действительного скаляра и трёх мнимых составляющих вектора, причём каждой декартовой координате приписывается своя мнимая единица. Таким образом, вместо одной обычной мнимой единицы 𝑖, характеризуемой свойством 𝑖²=-1, вводится три 𝑖, 𝑗, 𝑘 (𝑖²=𝑗²=𝑘²=-1), их различие между собой определяется попарной некоммутируемостью, а именно 𝑖𝑗=𝑘=-𝑗𝑖, 𝑗𝑘=𝑖=-𝑘𝑗, 𝑖𝑘=-𝑗=-𝑘𝑖 [11].
Сейчас мы понимаем, что привлечение кватернионов удобно упрощает вычисления, связанный с некоммутирующими величинами, например, при трёхмерных вращениях, теория которых была заложена ещё Эйлером. Но в максвелловские времена люди не обращали внимания на такие тонкости, и кватернионика Гамильтона считалась нечто вроде символа обособления гордой ирландской самобытности. А Максвелл принял её в качестве рабочего инструмента и приспособил обслуживать фарадеевские поля, ибо кватернионика позволяла установить правила не только сложения, но и умножения векторов, а следовательно, открывала путь к построению векторного дифференциального исчисления. Действительно, если рассматривать векторное поле 𝐀 (𝐴α, α=1, 2, 3 - индексы соответствуют номерам координатных осей) как векторную часть кватерниона 𝔄 (следуя Максвеллу, снабжаем кватернионы готическими обозначениями), то произведение двух чисто векторных кватернионов (их иногда называют ассоциированными) 𝔄⋅𝔅, выполненное с учётом правил коммутации 𝑖, 𝑗, 𝑘, будет содержать векторную часть (Максвелл обозначает её 𝑉⋅𝔄𝔅) и скалярную часть (𝑆⋅𝔄𝔅), и ничего более. Судя по воспоминаниям [10], Гамильтон очень гордился этим результатом и имел к тому основания.
В современном представлении через действительные проекции произведение векторов 𝐴α и 𝐵β в общемм случае выглядит как симметричный диадный тензор 𝐴α𝐵β. По известной теореме приведения он может быть разложен на три «элементарных» (неприводимых) группы: группу скаляров 𝐴α𝐵α (по дважды встречающимся индексам производится суммирование
⁔
α,α
≡
3
∑
α=1
),
группу векторов (псевдовекторов) 𝑒αβγ𝐴𝐵βγ (𝑒αβγ - единичный антисимметричный тензор) и группу симметричных тензоров с нулевым следом
⎛
⎜
⎝
𝐴
α
𝐵
β
+
𝐴
β
𝐵
α
-
1
3
δ
αβ
𝐴
α
𝐵
β
⎞
⎟
⎠
;
δαβ - единичный симметричный тензор; последняя группа повышает ранг описания векторных полей и потому «не задействована» в формулировке скалярных и векторных уравнений электродинамики (во всяком случае применительно к неэкзотическим ситуациям). Кватернионная операция умножения векторов производит это отметание тензоров второго ранга автоматически.
Этими несколько подробными сопоставлениями векторных действительных и векторных кватернионных манипуляций мы, с одной стороны, дополняем информацию п. 2 об обозначениях «Трактата», а с другой - хотим отметить высокое качество принятой в нём терминологии, в определённом смысле более адекватной существу дела, чем наша. В самом деле, скалярная часть произведения векторов
𝑆⋅𝔄𝔅
→
𝐀𝐁
=
𝐴
α
𝐵
β
и векторная часть произведения векторов
𝑉⋅𝔄𝔅
⇒
𝐀×𝐁
→
𝑒
αβγ
𝐴
β
𝐵
γ
лингвистически последовательнее отражают существо теоремы приведения, чем наши в общем-то жаргонные обороты «скалярное и векторное произведения».
Конечно, сейчас большинство из нас является приверженцами описания скалярных и векторных полей в действительных переменных, считая его нагляднее кватернионного. Но ведь наглядность - свойство человеческое - прививаемое и воспитываемое. А по строгости оба подхода равноправны.
Далее Максвелл, тоже вслед за Гамильтоном, вводит оператор дифференцирования
∇
=
𝑖
∂
∂𝑥₁
+
𝑗
∂
∂𝑥₂
+
𝑘
∂
∂𝑥₃
.
Собственно говоря, это и есть истинный oператор Гамильтона, а наш модифицированный вариант «набла» приспособлен к действительным переменным и не содержит комплексных факторов 𝑖, 𝑗, 𝑘. С помощью этого оператора образуются три новых математических образа: градиент скаляра (∇⋅φ), ротор или вихрь вектора
𝑉⋅∇𝕬
=
rot 𝐀
=
∇×𝐀
→
𝑒
αβγ
∇
β
𝐴
γ
и конвергенция (равная дивергенции с обратным знаком)
-𝑆⋅∇𝕬
=
-div 𝐀
=
∇⋅𝐀
=
∇
α
𝐴
α
,
а также соответствующие операции второго порядка, важнейшая из которых
∇⋅∇φ
=-
∂²φ
∂𝑥α∂𝑥α
,
эквивалентна «нашему» лапласиану с противоположным знаком.
Важность этого математического языка несомненна. Без него уравнениям поля не удалось придать бы столь универсального охвата. Так что второе открытие Максвелла в «одушевлённой части» природы было связано с кватернионикой Гамильтона, и оно произошло тоже, как и в случае Фарадея, вопреки общепринятым мнениям профессионалов. Конечно, Максвелл не довёл этот аппарат до современного автоматизма, базирующегося на небольшом числе векторных тождеств, с которыми сейчас быстро осваиваются студенты, но это не умаляет его общей заслуги. Тем более что он пошёл в определённом смысле дальше. Ведь его цель состояла в придании аналитического представления идеям Фарадея, а тот видел поля, как целостные электрические и магнитные «пейзажи», что было адекватно лишь крупномасштабной топологии. И в этом случае Максвеллу опять «повезло»: его снова «поджидал» практически завершённый аппарат интегральных теорем, известных нам как теоремы Гаусса - Остроградского и Стокса, который позволил написать уравнения электромагнитного поля в интегральной форме. Правда, в отличие от дифференциальных, эти уравнения не собраны воедино в «Трактате», а разбросаны по специализированным главам. Но, как следует из Предварительной главы, Максвелл намеревался систематизировать свои топологические идеи на базе критериев перифрактичности, характеризующих трёхмерные многосвязные области.
К сожалению, нам не дано восстановить ход его замыслов. И поэтому, вероятно, некоторые фрагменты рассуждений на эти темы мы принимаем скептически. Например, Максвелл различает векторные поля двух типов - потоковые (пронизывающие поверхности, «ассоциируемые» с ними) и силовые (направленные вдоль линий , «ассоциируемые» с линиями). Такая классификация кажется нам отчасти ситуационной: она, с нашей точки зрения, выполняла функцию наведения, т.е. помогла Максвеллу связать между собой изменения электрических и магнитных полей в пространстве и во времени, но не более того. Формулируя закон индукции Фарадея в интегральной форме
∮
𝐄𝑑𝐥
=-
1
𝑐
