В этом случае мы можем опустить члены, содержащие 𝐾 в уравнениях п. 783, и эти уравнения принимают вид

∇²𝐹

+

4πμ𝐶

𝑑𝐹

𝑑𝑡

=

0,

⎫

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎭

∇²𝐺

+

4πμ𝐶

𝑑𝐺

𝑑𝑡

=

0,

∇²𝐻

+

4πμ𝐶

𝑑𝐻

𝑑𝑡

=

0,

(1)

Каждое из этих уравнений имеет ту же форму, что и уравнение диффузии тепла, данное в «Трактате о Теплоте» Фурье.

802. Например, из первого уравнения следует, что 𝐹 -составляющая вектор-потенциала будет меняться во времени и пространстве так же, как меняется во времени и пространстве температура однородного твёрдого тела при условии, что начальные и граничные условия для этих двух случаев приведены в соответствие друг с другом, а величина 4πμ𝐶 численно равна обратной термометрической проводимости вещества, иначе говоря, количеству единиц объёма вещества, которое было бы нагрето на один градус теплом, проходящим через единичный куб вещества в единицу времени, у которого температура двух противоположных граней отличается на градус, в то время как остальные грани для тепла непроницаемы ⁶

⁶ См. Maxwell’s Theory of Heat, p. 235 first edition, p. 255 fourth edition.

Различные задачи теплопроводности, решения которых дал Фурье, могут быть преобразованы в задачи диффузии электромагнитных величин, однако следует помнить, что 𝐹, 𝐺, 𝐻 являются составляющими вектора, тогда как температура в задаче Фурье является величиной скалярной.

Возьмём один из случаев, для которого Фурье дал полное решение ⁷, это случай бесконечной среды, начальное состояние которой задано.

⁷Traité de la Chaleur, Art. 384.

Уравнение, определяющее температуру 𝑣 в точке (𝑥,𝑦,𝑧) спустя время 𝑡 как функцию начальной температуры 𝑓(α,β,γ) в точке (α,β,γ), следующее:   -

⎛

⎝

(α-𝑥)²+(β+𝑦)²+(γ+𝑧)²

4𝑘𝑡

⎞

⎠ 𝑣 = ∭ 𝑑α𝑑β𝑑γ 𝑒 𝑓(α,β,γ) , 2³√𝑘³π³𝑡³

где 𝑘 - термометрическая проводимость.

Состояние в произвольной точке среды в момент времени 𝑡 находится путём взятия среднего от состояния каждой части среды, причём вес, приписываемый каждой части при взятии среднего, равен 𝑒^{-(πμ𝐶𝑟²)/𝑡} где 𝑟 - расстояние от этой части до рассматриваемой точки. В случае векторных величин это среднее наиболее удобно брать, рассматривая каждую составляющую вектора отдельно.

803. Прежде всего мы должны заметить, что в этой задаче теплопроводность среды Фурье следует брать обратно пропорциональной электропроводности нашей среды, таким образом, время, требуемое для достижения заданной стадии в процессе диффузии, тем больше, чем выше электропроводность. Это утверждение не будет казаться парадоксальным, если мы вспомним результат п. 655, состоящий в том, что среда с бесконечной проводимостью образует непреодолимый барьер для процесса диффузии магнитной силы.

Далее, время, необходимое для достижения заданного состояния в процессе диффузии, пропорционально квадрату линейных размеров системы.

Здесь нет определённой скорости, которую можно было бы определить, как скорость диффузии. Если мы попытаемся измерить эту скорость, установив время, необходимое для образования возмущения заданной величины на заданном расстоянии от источника возмущения, мы получим, что чем меньше выбранное значение возмущения, тем большей будет оказываться скорость, поскольку, как бы велико ни было расстояние и как бы мало ни было время, величина возмущения будет математически отличаться от нуля.

Эта особенность диффузии отличает её от распространения волн, которое происходит с определённой скоростью. Никаких возмущений в данной точке не возникает до тех пор, пока волна не достигнет этой точки, а когда волна пройдёт через неё, возмущение прекращается навсегда.

804. Исследуем теперь процесс, который имеет место, когда электрический ток возникает и продолжает течь по прямому проводу, а окружающая его среда обладает конечной электрической проводимостью (сравните с п. 660).

Когда ток начинается, его первое действие состоит в том, чтобы создать ток индукции в областях среды, близких к проводу. Направление этого тока противоположно направлению первоначального тока и в первый момент его общая величина равна величине первоначального тока, так что электромагнитное действие на более удалённые участки среды вначале равно нулю; оно возрастает до своего конечного значения по мере затухания тока индукции из-за электрического сопротивления среды.

Но по мере затухания тока индукции вблизи провода дальше в среде возникает новый индукционный ток, так что пространство, занятое индукционным током, непрерывно расширяется, а интенсивность тока непрерывно уменьшается.

Это явление диффузии и затухания тока индукции в точности аналогично диффузии тепла от участка среды, вначале более горячего или более холодного, чем остальные. Однако, поскольку ток является векторной величиной и в противоположных точках контура имеет противоположные направления, мы должны помнить, что при вычислении любой данной составляющей тока индукции нужно сравнивать эту задачу с такой задачей, в которой равные количества тепла и холода диффундируют из соседних мест; в этом случае действие на отдалённые точки будет иметь меньший порядок величины.

805. Если в прямом проводе поддерживается постоянный ток, то токи индукции, которые зависят от начального изменения состояния, будут постепенно диффундировать и угасать, оставив среду в неизменном состоянии, которое аналогично неизменному состоянию потока тепла. В этом состоянии мы имеем

∇²𝐹

=

∇²𝐺

=

∇²𝐻

=

0

(2)

во всей среде, кроме части, занятой проводом, в которой

∇²𝐹

=

4π𝑢

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

∇²𝐺

=

4π𝑣

∇²𝐻

=

4π𝑤

(3)

Этих уравнений достаточно, чтобы определить значения 𝐹, 𝐺, 𝐻 во всей среде. Они показывают, что нет других токов, кроме тока в контуре, и что магнитные силы просто обусловлены токами в контуре согласно обычной теории. Скорость, с которой устанавливается это неизменное состояние, настолько велика, что не может быть измерена нашими экспериментальными методами, кроме, возможно, случая очень большого количества высокопроводящей среды, такой, как, например, медь.

Замечание. В своей работе, опубликованной в «Анналах» Поггендорфа (Pogg. Ann., July, 1867), Лоренц вывел из уравнений Кирхгофа для электрических токов (Pogg. Ann., CII, 1856) путём добавления некоторых членов, не влияющих ни на какие экспериментальные результаты, новую систему уравнений, показывающую, что распределение силы в электромагнитном поле может быть представлено как возникающее из взаимодействия прилегающих друг к другу элементов и что волны, образованные поперечными электрическими токами, могут распространяться со скоростью, сравнимой со скоростью света в непроводящей среде. Поэтому он рассматривает возмущения, составляющие свет, как идентичные с возмущениями электрических токов и показывает, что проводящая среда должна быть непрозрачной для таких излучений.

Эти выводы сходны с выводами настоящей главы, хотя они получены совсем другим методом. Приведённая в этой главе теория впервые была опубликована в Phil. Trans, за 1865 г., стр. 459-512.

ГЛАВА XXI

МАГНИТНОЕ ДЕЙСТВИЕ НА СВЕТ

806. Наиболее важным шагом в установлении связи между явлениями электрическими и магнитными и явлениями световыми должно быть открытие какого-либо примера, в котором одна совокупность явлений влияла бы на другую. В поисках таких явлений мы должны руководствоваться любым знанием из числа уже полученных нами и относящихся к математической или геометрической форме величин, которые мы желаем сравнивать. Так, если мы будем пытаться, как пыталась миссис Сомервилль (Somerville), намагнитить стрелку с помощью света, мы должны помнить, что различие между магнитным севером и югом - это просто вопрос о направлении, а направление тотчас же сменится на противоположное, когда мы сделаем противоположными некоторые соглашения относительно использования математических знаков. В магнетизме нет ничего аналогичного тем явлениям электролиза, которые позволяют нам отличать положительное электричество от отрицательного, замечая, что кислород появляется на одном полюсе элемента, а водород - на другом.