=
𝑅𝐶
.
(6)
Здесь 𝐿/𝑄 и 𝑅𝐶 являются постоянными времени элементов 𝑄 и 𝑅 соответственно. Поэтому, если, меняя 𝑄 или 𝑅, мы отрегулируем элементы мостика Уитстона так, чтобы ток в гальванометре отсутствовал как при размыкании и замыкании контакта, так и в установившемся режиме, мы будем знать, что постоянные времени катушки и конденсатора равны.
Коэффициент самоиндукции 𝐿 можно определить в электромагнитной мере путём сравнения с коэффициентом взаимной индукции двух контуров с известными геометрическими параметрами (п. 756). Эта величина имеет размерность длины.
Ёмкость конденсатора может быть определена в электростатической мере путём сравнения с конденсатором, геометрические данные которого известны (п. 229). Эта величина с тоже является длиной. Ёмкость в электромагнитной мере равна
𝐶
=
𝑐
𝑣²
.
(7)
Подставляя это значение в уравнение (6), мы получаем для величины 𝑣:
𝑣²
=
𝑐
𝐿
𝑄𝑅
,
(8)
где 𝑐 - ёмкость конденсатора в электростатической мере, 𝐿 - коэффициент самоиндукции катушки в электромагнитной мере, а 𝑄 и 𝑅 - сопротивления в электромагнитной мере. Значение 𝑣, найденное таким методом, зависит от определения единицы сопротивления, так же как и во втором методе, п. 772, 773.
V. Сопоставление электростатической ёмкости конденсатора с электромагнитной ёмкостью самоиндукции катушки
779. Пусть 𝐶 будет ёмкостью конденсатора, обкладки которого соединены проводом с сопротивлением 𝑅. Пусть в этот провод включены катушки 𝐿 и 𝐿' и пусть 𝐿 обозначает сумму их ёмкостей самоиндукции. Катушка 𝐿' подвешена на двухнитевом подвесе и состоит из двух параллельных витков, расположенных в вертикальной плоскости, между которыми проходит вертикальная ось, несущая магнит 𝑀, ось которого вращается в горизонтальной плоскости между катушками 𝐿𝐿'. Катушка 𝐿, имеющая большой коэффициент самоиндукции, закреплена. Подвешенная катушка 𝐿' защищена от потоков воздуха, вызываемых вращением магнита, путём помещения вращающихся частей внутрь полой оболочки [рис. 64].
Рис. 64
Движение магнита вызывает в катушке токи индукции, которые подвергаются воздействию со стороны магнита, так что плоскость подвешенной катушки отклоняется в направлении вращения магнита. Определим силу индуцированных токов и величину отклонения подвешенной катушки.
Пусть 𝑥 будет заряд электричества на верхней обкладке конденсатора 𝐶, тогда, если 𝐸 есть электродвижущая сила, которая произвела этот заряд, из теории конденсаторов имеем
𝑥
=
𝐶𝐸
.
(1)
Из теории электрических токов мы имеем также
𝑅𝑥̇
=
𝑑
𝑑𝑡
(
𝐿𝑥̇
+
𝑀 cos θ
)+
𝐸
=
0,
(2)
где 𝑀 - электромагнитный импульс контура 𝐿', когда ось магнита перпендикулярна плоскости катушки, а θ - угол между осью магнита и нормалью к этой плоскости.
Уравнение для определения 𝑥, таким образом, следующее:
𝐶𝐿
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
+
𝐶𝑅
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑥
=
𝐶𝑀
sin θ
𝑑θ
𝑑𝑡
.
(3)
Если катушка находится в положении равновесия и если магнит вращается с постоянной угловой скоростью 𝑛, то
θ
=
𝑛𝑡
.
(4)
Выражение для тока состоит из двух частей, одна из которых не зависит от правой части уравнения и убывает со временем по экспоненте. Другая часть, которую можно назвать вынужденным током, целиком определяется членом, содержащим θ, и может быть записана в виде
𝑥
=
𝐴 sin θ
+
𝐵 cos θ
.
(5)
Находя значения 𝐴 и 𝐵 подстановкой в уравнение (3), мы получаем
𝑥
=-
𝑀𝐶𝑛
𝑅𝐶𝑛 cos θ - (1-𝐶𝐿𝑛²)sin θ
𝑅²𝐶²𝑛²+(1-𝐶𝐿𝑛²)²
.
(6)
Момент силы, действующий со стороны магнита на катушку 𝐿', по которой протекает ток 𝑥̇, противоположен моменту, который действовал бы на магнит, если бы катушка была неподвижна, и равен
Θ
=
𝑥̇
𝑑
𝑑θ
(𝑀 cos θ)
=
𝑀 sin θ
𝑑𝑥
𝑑𝑡
.
(7)
Проинтегрировав это выражение по 𝑡 в течение одного оборота и разделив на время, мы получаем для среднего значения
Θ
=
1
2
𝑀²𝑅𝐶²𝑛³
𝑅²𝐶²𝑛²+(1-𝐶𝐿𝑛²)²
.
(8)
Если катушка обладает значительным моментом инерции, её вынужденные колебания будут очень малы, а её среднее отклонение будет пропорционально Θ.
Пусть наблюдаемые отклонения 𝐷₁, 𝐷₂, 𝐷₃ соответствуют угловым скоростям магнита 𝑛₁, 𝑛₂, 𝑛₃; тогда в общем случае
𝑃
𝑛
𝐷
=
⎛
⎜
⎝
1
𝑛
+
𝐶𝐿𝑛
⎞²
⎟
⎠
+
𝑅²𝐶²
,
(9)
где величина 𝑃 - постоянна.
Исключая 𝑃 и 𝑅 из трёх уравнений такого вида, мы находим
𝐶²𝐿²
=
1
𝑛₁²𝑛₂²𝑛₃²
×
×
𝑛₁³
𝐷₁
(𝑛₂²-𝑛₃²)
+
𝑛₂³
𝐷₂
(𝑛₃²-𝑛₁²)
+
𝑛₃³
𝐷₃
(𝑛₁²-𝑛₂²)
𝑛₁
𝐷₁ (𝑛₂²-𝑛₃²) +
𝑛₂
𝐷₂ (𝑛₃²-𝑛₁²) +
𝑛₃
𝐷₃ (𝑛₁²-𝑛₂²)
.
(10)
Если 𝑛₂ таково, что 𝐶𝐿𝑛₂²=1, для этого значения 𝑛 величина 𝑛/𝐷 будет минимальной. Остальные значения 𝑛 следует брать одно больше, а другое меньше чем 𝑛₂.
Величина 𝐶𝐿, определённая из уравнения (10), имеет размерность квадрата времени. Назовём её τ².
Если 𝐶𝑠 является электростатической мерой ёмкости конденсатора, а 𝐿𝑚 - электромагнитной мерой самоиндукции катушки, то и 𝐶𝑠 и 𝐿𝑚 являются длинами и произведение 𝐶𝑠𝐿𝑚 равно
𝐶
𝑠
𝐿
𝑚
=
𝑣²𝐶
𝑠
𝐿
𝑠
=
𝑣²𝐶
𝑚
𝐿
𝑚
=
𝑣²τ²
(11)
и
𝑣²
=
𝐶𝑠𝐿𝑚
τ²
,
(12)
где τ² равняется значению 𝐶²𝐿², найденному из этого эксперимента. Эксперимент, предложенный здесь в качестве метода определения 𝑣, имеет ту же сущность, что и эксперимент, описанный сэром У. Р. Гроувом (Sir W. R. Grove, Phil. Mag., March 1868, p. 184). См. также замечания автора настоящего трактата по поводу этого эксперимента в майском номере за 1868 г., стр. 360-363.
