В случаях дифференциального гальванометра и мостика Уитстона нет необходимости делать второй эксперимент, подставляя катушку сопротивления вместо конденсатора. Величина требуемого для этой цели сопротивления может быть найдена путём вычисления через остальные известные сопротивления системы.

Используя обозначения п. 347, предположим, что конденсатор и коммутатор вставлены вместо проводника 𝐴𝐶 в мостик Уитстона, а гальванометр, подключённый в 𝑂𝐴, показывает нулевое отклонение. Мы знаем, что сопротивление катушки, которая, будучи помещённой в 𝐴𝐶, дала бы нулевое отклонение, равно

𝑏

=

𝑐γ

β

=

𝑅₁

.

(3)

Другая часть сопротивления - 𝑅₂ - является сопротивлением системы проводников 𝐴𝑂, 𝑂𝐶, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝑂𝐵, причём точки 𝐴 и 𝐶 рассматриваются как электроды. Следовательно,

𝑅₂

=

β(𝑏+𝑎)(γ+α)+𝑐𝑎(γ+𝑎)+γα(𝑐+𝑎)

(𝑐+α)(γ+𝑎)+β(𝑐+𝑎+γ+α)

.

(4)

В этом выражении 𝑎 обозначает внутреннее сопротивление батареи и её соединений; эта величина не может быть определена точно, но если сделать её малой по сравнению с другими сопротивлениями, эта неопределённость будет лишь слегка влиять на величину 𝑅₂.

Величина ёмкости конденсатора в электромагнитной мере равна

𝐶

=

𝑇

2(𝑅₁+𝑅₂)

.

(5)

777. Если конденсатор обладает большой ёмкостью, а коммутатор очень быстродействующий, то конденсатор может полностью не разряжаться при каждом переключении. Уравнение для электрического тока во время разряда следующее:

𝑄

+

𝑅₂𝐶

𝑑𝑄

𝑑𝑡

+

𝐸𝐶

=

0,

(6)

где 𝑄 - заряд, 𝐶 - ёмкость конденсатора, 𝑅₂ - сопротивление остальной части системы между электродами конденсатора, 𝐸 - электродвижущая сила, обусловленная включением батареи.

Следовательно,

𝑄

=

(

𝑄₀

+

𝐸𝐶

)

-

𝑒

^{-𝑡/(𝑅₂𝐶)}

𝐸𝐶

(7)

где 𝑄₀ - начальное значение 𝑄.

Если τ - продолжительность контакта при каждом разряде, то количество электричества в каждом разряде равно

𝑄

=

2𝐸𝐶

1-𝑒^{-τ/(𝑅₂𝐶)}

1+𝑒^{+τ/(𝑅₂𝐶)}

.

(8)

Положив величины 𝑐 и γ в уравнении (4) большими по сравнению с β, 𝑎 или α, можно сделать время, представляемое произведением 𝑅₂𝐶, настолько малым по сравнению с τ, что при вычислении значения экспоненциального выражения мы можем использовать для 𝐶 выражение (5). Таким образом, мы находим

τ

𝑅₂𝐶

=

2

𝑅₁+𝑅₂

𝑅₂

τ

𝑇

,

(9)

где 𝑅₁ - сопротивление, которое надо поставить вместо конденсатора, чтобы произвести эквивалентный эффект; 𝑅₂ - сопротивление остальной части системы, 𝑇 - интервал между началом двух последовательных разрядов, τ - продолжительность контакта при каждом разряде. Таким образом, мы получаем уточнённое значение для величины 𝐶 в электромагнитной мере:

-2

𝑅₁+𝑅₂

𝑅₂

⋅

τ

𝑇

𝐶

=

1

𝑇

1+𝑒

.

2

𝑅₁+𝑅₂

-2

𝑅₁+𝑅₂

𝑅₂

⋅

τ

𝑇

1-𝑒

(10)

IV. Сравнение электростатической ёмкости конденсатора с электромагнитной ёмкостью самоиндукции катушки

778. Если две точки проводящего контура, сопротивление между которыми равно 𝑅, соединены с электродами конденсатора ёмкостью 𝐶, то при действии в контуре электродвижущей силы часть тока, вместо того чтобы проходить через сопротивление 𝑅, будет идти на заряд конденсатора. Следовательно, ток через 𝑅 будет увеличиваться от нуля до своего конечного значения постепенно. Из математической теории следует, что нарастание тока через 𝑅 от нуля до его конечного значения выражается формулой точно такого же вида, что и формула, определяющая величину тока, вызываемого постоянной электродвижущей силой в катушке электромагнита. Следовательно, мы можем поместить конденсатор и электромагнит в двух противоположных плечах мостика Уитстона таким образом, что ток через гальванометр всегда равен нулю, даже в момент замыкания или размыкания контура батареи.

Рис. 63

Пусть на рис. 63 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 будут соответственно сопротивления четырёх элементов мостика Уитстона. Пусть катушка с коэффициентом самоиндукции 𝐿 является частью элемента 𝐴𝐻 с сопротивлением 𝑄, и пусть электроды конденсатора ёмкости 𝐶 присоединены через проводники с малым сопротивлением к точкам 𝐹 и 𝑍. Для простоты мы будем предполагать, что в гальванометре, электроды которого присоединены к 𝐹 и 𝐻, ток отсутствует. Мы должны, таким образом, определить условие, при котором потенциал в точке 𝐹 равен потенциалу в точке 𝐻. И только если мы хотим оценить степень точности метода, мы должны вычислить ток через гальванометр, когда это условие не выполнено.

Пусть 𝑥 будет полное количество электричества, которое прошло через элемент 𝐴𝐹 за время 𝑡, а 𝑧 - количество электричества, прошедшее за то же время через 𝐹𝑍, тогда заряд конденсатора будет 𝑥-𝑧. Электродвижущая сила, действующая между электродами конденсатора, по закону Ома равна 𝑅(𝑑𝑧/𝑑𝑡), так что если ёмкость конденсатора равна 𝐶, то

𝑥-𝑧

=

𝑅𝐶

𝑑𝑧

𝑑𝑡

(1)

Пусть 𝑦 будет полное количество электричества, которое прошло через элемент 𝐴𝐻; электродвижущая сила от 𝐴 к 𝐻 должна равняться электродвижущей силе от 𝐴 к 𝐹, т.е.

𝑄

𝑑𝑦

𝑑𝑡

+

𝐿

𝑑²𝑦

𝑑𝑡²

=

𝑃

𝑑𝑥

𝑑𝑡

.

(2)

Поскольку ток через гальванометр отсутствует, количество электричества, прошедшее через 𝐻𝑍, также должно равняться 𝑦, поэтому находим

𝑆

𝑑𝑦

𝑑𝑡

=

𝑅

𝑑𝑧

𝑑𝑡

.

(3)

Подставляя в (2) значение 𝑥, найденное из (1), и сравнивая с (3), мы находим в качестве условия отсутствия тока через гальванометр

𝑅𝑄

⎛

⎜

⎝

1+

𝐿

𝑄

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

𝑧

=

𝑆𝑃

⎛

⎜

⎝

1+

𝑅𝐶

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

𝑧

.

(4)

Условие отсутствия тока в установившемся режиме имеет обычный для мостика Уитстона вид

𝑄𝑅

=

𝑆𝑃

.

(5)

Дополнительное условие отсутствия тока при размыкании и замыкании соединения с батареей следующее:

𝐿

𝑄