Выберем начало координат в центре атома. Пусть в этой системе, как показано на фиг. 6.5, электроны выходят из точки 𝑎 в момент времени 𝑡=0. С помощью счётчика, помещённого в точку 𝑏, мы узнаем, достигнет ли электрон точки 𝑏 в момент времени 𝑡=𝑇. Будем приближённо считать, что
1) взаимодействие может быть рассмотрено в первом борновском приближении, т.е. электрон рассеивается на атоме только один раз;
2) атом может быть представлен с помощью потенциала 𝑉(𝐫), фиксированного в пространстве и постоянного во времени.
На самом деле атом является очень сложной системой, и взаимодействие между электроном и атомом в действительности гораздо сложнее, чем это может быть представлено простым потенциалом 𝑉(𝐫). Электрон может возбудить или ионизовать атом и потерять при этом часть энергии. Можно показать, однако, что когда мы рассматриваем только упругие столкновения электрона с атомом (атом после столкновения остаётся в том же самом энергетическом состоянии, что и до столкновения), то второе предположение будет выполняться, если выполнено первое предположение.
Пусть 𝐑𝑎 и 𝐑𝑏 — векторы, соединяющие центр атома с точками, в которых электрон соответственно испускается и регистрируется. В расчётах мы примем, что длина векторов 𝐑𝑎 и 𝐑𝑏 много больше радиуса атома. Таким образом, мы предполагаем, что атомный потенциал 𝑉(𝐫) становится пренебрежимо малым на расстояниях, много меньших, чем |𝐑𝑎| и |𝐑𝑏|. Следовательно, большую часть времени пролёта электрон будет двигаться как свободная частица и только вблизи начала координат он испытает действие потенциала.
Первое борновское приближение содержит два члена, из которых нас будет интересовать лишь второй. Первый член, являющийся ядром 𝐾0(𝑏,𝑎) для случая свободной частицы, был уже достаточно подробно нами изучен. Мы интересуемся вторым членом
𝐾
(1)
(𝑏,𝑎)
=
-
𝑖
ℏ
∫
𝐾
0
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
𝐾
0
(𝑐,𝑎)
𝑑τ
𝑐
=
=
-
𝑖
ℏ
𝑟
∫
𝑇
∫
0
⎡
⎢
⎣
𝑚
2π𝑖ℏ(𝑇-𝑡)
⎤3/2
⎥
⎦
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚|𝐑𝑎-𝐫|²
2ℏ(𝑇-𝑡)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑉(𝐫)
×
×
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑡
⎫3/2
⎪
⎭
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑚|𝐑𝑏-𝐫|²
2ℏ𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝑑³𝐫
𝑑𝑡
.
(6.28)
Через 𝐫 мы обозначили здесь вектор, соединяющий начало координат с точкой 𝑐, 𝑑³𝐫 — произведение дифференциалов всех компонент вектора 𝐫. Интегрирование по переменной 𝑡 даёт
𝐾
(1)
(𝑏,𝑎)
=
-
𝑖
ℏ
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑇
⎫5/2
⎪
⎭
𝑇
𝑟
∫
⎧
⎪
⎩
1
𝑟𝑎
-
1
𝑟𝑏
⎫
⎪
⎭
×
×
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏ𝑇
(𝑟
𝑎
+𝑟
𝑏
)²
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑉(𝐫)
𝑑³𝐫
,
(6.29)
где 𝑟𝑎=|𝐑𝑎-𝐫| и 𝑟𝑏=|𝐑𝑏-𝐫| (см. приложение). Для этих величин мы можем написать
𝑟
𝑎
=𝑅
𝑎
⎧
⎪
⎩
1-
2𝑅𝑎⋅𝐫
𝑅²𝑎
+
𝑟²
𝑅²𝑎
⎫½
⎪
⎭
≈
𝑅
𝑎
+𝐢
𝑎
⋅𝐫,
(6.30)
𝑟
𝑏
=𝑅
𝑏
⎧
⎪
⎩
1-
2𝑅𝑏⋅𝐫
𝑅²𝑏
+
𝑟²
𝑅²𝑏
⎫½
⎪
⎭
≈
𝑅
𝑏
-𝐢
𝑏
⋅𝐫,
(6.31)
где 𝐢𝑎 и 𝐢𝑏 — единичные векторы соответственно в направлениях векторов 𝐑𝑎 и 𝐑𝑏 (т.е. 𝐢𝑎=-𝐑𝑎/𝑅𝑎, где 𝑅𝑎=|𝐑𝑎|). При выводе приближённых соотношений (6.30) и (6.31) мы воспользовались тем фактом, что величина 𝑅𝑎 намного больше тех расстояний |𝐫|, на которых нельзя пренебрегать потенциалом 𝑉(𝑟).
Члены первого порядка по 𝑟 необходимо удержать лишь в экспоненциальном множителе, поскольку этот множитель особенно чувствителен к малым изменениям фазы. Поэтому мы запишем
(𝑟
𝑎
+𝑟
𝑏
)²
≈
(𝑅
𝑎
+𝑅
𝑏
)²
+
2(𝑅
𝑎
+𝑅
𝑏
)
(𝐢
𝑎
⋅𝐫)
-
(𝐢
𝑏
⋅𝐫)
.
(6.32)
Используя эти приближения, ядро 𝐾(1)(𝑏,𝑎) можно теперь представить в виде
𝐾
(1)
(𝑏,𝑎)
≈
-
𝑖
ℏ
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑇
⎫5/2
⎪
⎭
𝑇
⎧
⎪
⎩
1
𝑅𝑎
+
1
𝑅𝑏
⎫
⎪
⎭
×
×
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏ𝑇
(𝑅
𝑎
+𝑅
𝑏
)²
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
×
×
𝑟
∫
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
ℏ𝑇
(𝑅
𝑎
+𝑅
𝑏
)
(𝐢
𝑎
⋅𝐫)
-
(𝐢
𝑏
⋅𝐫)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑉(𝐫)
𝑑³𝐫
.
(6.33)
