Как мы уже говорили, в стационарных состояниях невозмущённого атома водорода вполне определена только большая ось орбиты, в то время как эксцентриситет её может принимать любые значения. С другой стороны, изменение энергии атома под действием внешнего силового поля зависит от формы и положения орбиты; поэтому, естественно, определение энергии атома в силовом поле связано с более детальным определением орбиты в стационарных состояниях возмущённой системы. В рассмотренных выше случаях изменения спектра водорода в однородном электрическом и магнитном полях условие энергии (19) допускает простое геометрическое толкование. В электрическом поле расстояние ядра от плоскости, в которой движется центр орбиты и которая определяет изменение энергии системы в стационарных состояниях, обусловленное присутствием поля, равно большой полуоси орбиты, умноженной на 𝑘/𝑛. В случае магнитного поля можно показать, что величина, определяющая изменение энергии системы в присутствии поля, т. е. площадь проекции орбиты на плоскость, перпендикулярную магнитному полю, равняется умноженной на 𝑘/𝑛 площади π𝑎_𝑛² круга с радиусом, равным большой полуоси орбиты. Аналогичным образом можно показать, что наличие требуемого теорией квантов соответствия между спектром и движением атома приводит к простому условию для случая атома водорода, возмущаемого центральным полем: в стационарных состояниях возмущённой системы малая ось вращающейся орбиты равна большой оси 2𝑎_𝑛, умноженной на 𝑘/𝑛. Это условие первоначально было выведено Зоммерфельдом из его общей теории определения стационарных состояний движения в центральном поле, являющегося особенно простым примером движения условно-периодической системы. Нетрудно показать, что указанное определение значений малой оси равносильно тому, что параметр ¹ 2𝑝 эллиптической орбиты определяется выражением той же формы, что и большая ось 2𝑎_𝑛 в невозмущённом атоме с заменой 𝑛 на 𝑘. Таким образом, значение этого параметра для стационарных состояний возмущённого атома будет

2𝑝

=

𝑘²

ℎ²

2π²𝑒²𝑚

.

(25)

¹ Хорда, проходящая через фокус эллипса перпендикулярно большой оси.— Прим. перев.

При таком определении стационарных состояний мы получим для частоты света, излучаемого при переходах между состояниями с 𝑛 и 𝑘, большими по сравнению с их разностью, выражение, совпадающее с (22), где ω - число оборотов электрона по медленно вращающейся орбите, а σ - число оборотов большой оси орбиты.

Прежде чем идти дальше, интересно отметить, что изложенное выше определение движения в стационарных состояниях атома водорода в возмущающих внешних силовых полях не совпадает в некоторых отношениях с определениями тех же состояний в теориях Зоммерфельда, Эпштейна и Дебая. В работах этих авторов стационарные состояния системы с тремя степенями свободы, согласно сущности теории условно-периодических систем, определяются тремя условиями и, следовательно, характеризуются тремя целыми числами. В терминах предыдущего изложения это равносильно тому, что стационарные состояния возмущённой системы, соответствующие одному определённому стационарному состоянию невозмущённого атома, связанному у нас единственным условием, в данном случае подчинены ещё двум условиям и характеризуются кроме 𝑛 ещё двумя целыми числами. В силу того, что возмущения кеплеровского движения в рассмотренных случаях чисто периодические, энергия возмущённой системы определяется только одним условием; введение какого-либо добавочного условия, согласно изложенному выше, не внесёт чего-либо нового для понимания явления. Появление новых возмущающих сил, хотя бы и малых для существенного изменения характера явлений Штарка и Зеемана, всё же может совершенно изменить формы движения, характеризуемые указанным единственным условием. Здесь мы имеем полную аналогию тому факту, что спектр водорода (как это обычно наблюдается) не меняется заметно под влиянием малых сил, хотя бы последние и были настолько значительны, чтобы, вызвать большие изменения формы и положения электронной орбиты.

Для правильного освещения предыдущих соображений, а также тех вопросов, с которыми мы встретимся при рассмотрении спектров элементов с высокими атомными номерами, небесполезно сказать несколько слов о влиянии на эти спектры изменения массы электрона со скоростью. Согласно тому, что уже сказано о тонкой структуре спектральных линий водорода, предыдущие соображения имеют силу только в том случае, когда влияние внешних сил велико по сравнению с теми отклонениями от чисто кеплеровского движения, которые вызываются зависимостью массы электрона от скорости. Если принять во внимание эту зависимость, то движение невозмущённого атома перестаёт быть строго периодическим, и мы получим движение совершенно того же характера, как и в рассмотренном случае атома водорода, возмущаемого слабым центральным полем. Согласно принципу соответствия, мы должны ожидать тесную связь между числом оборотов большой оси орбиты и разностями частот компонент тонкой структуры; так же, как и в рассмотренном выше случае, те орбиты, параметры которых задаются соотношением (26), соответствуют стационарным состояниям. Задаваясь вопросом о влиянии внешних полей на тонкую структуру спектральных линий водорода, мы не должны забывать, что приведённое выше определение относится только к стационарным состояниям невозмущённого атома; орбиты в этих состояниях, как мы уже сказали, сильно изменяются уже в присутствии внешних сил, малых по сравнению с теми, с которыми приходится оперировать в опытах по штарк- и зееман-эффектам. Ввиду сложности вызываемых возмущении, присутствие таких полей приведёт к тому, что атом уже не будет обладать совокупностью чётко определённых стационарных состояний и в связи с этим компоненты тонкой структуры определённой линии водорода станут расплывчатыми и сливающимися. Однако существует несколько важных случаев, когда возмущения имеют простой характер. Простейшим мыслимым примером является случай возмущения атома водорода центральной силой с ядром атома в качестве центра. Ясно, что движение системы сохраняет свой центрально-симметричный характер и отличие возмущённого движения от невозмущённого сведется только к тому, что число оборотов большой оси (при данных значениях оси и параметра) станет иным. Этот пункт существен для рассматриваемой ниже теории спектров элементов с более высокими атомными номерами, поскольку влияние изменчивости массы электрона того же типа, что и изменение, обусловленное присутствием сил, вызванных внутренними электронами; поэтому в случае таких спектров влияние изменчивости массы электрона скажется иначе, чем в случае спектральных линий водорода. Учёт изменчивости массы электрона приведёт не к расщеплению на отдельные компоненты но лишь к небольшому смещению различных линий серии.

Простым примером того случая, когда атом водорода будет обладать резко выраженными стационарными состояниями и когда учитывается изменчивость массы электрона, может служить атом в однородном магнитном поле. Действие такого поля скажется в том, что на движение невозмущённого атома наложится вращение всей системы вокруг оси, проходящей через ядро параллельно полю. Согласно принципу соответствия, отсюда непосредственно следует необходимость расщепления каждой компоненты тонкой структуры в нормальный триплет Лоренца. Эта же задача может быть, впрочем, решена и с помощью теории условнопериодических систем, так как уравнения движения в магнитном поле допускают разделение переменных в пространственных полярных координатах в том случае, когда учитывается изменчивость массы, как это уже отмечено Зоммерфельдом и Дебаем. Более сложную задачу представляет атом в однородном электрическом поле, не столь значительном, чтобы можно было пренебречь изменением массы. В этом случае не существует системы координат, в которой можно было бы решить уравнения движения разделением переменных, а потому задача не может быть решена с помощью теории стационарных состояний условно-периодических систем. Более подробное исследование возмущений показывает, однако, что характер их таков, что и в данном случае движение электрона может быть разложено на ряд дискретных гармонических компонент колебания, распадающихся на две группы, с колебаниями параллельными и перпендикулярными полю. Согласно принципу соответствия, мы можем ожидать и в данном случае расщепления каждой линии водорода на некоторое число резких поляризованных компонент. Пользуясь тем же принципом, мы в состоянии однозначно определить стационарные состояния системы с указанным движением. Проблема действия электрического поля на компоненты тонкой структуры спектральных линий водорода будет рассмотрена с этой точки зрения в статье Крамерса, которая скоро должна появиться. В ней будет показано, каким образом можно во всех деталях предсказать характер перехода тонкой структуры линий водорода в обычный эффект Штарка при возрастающей напряжённости электрического поля.