Таким образом, мы будем, как и прежде, рассматривать невозмущённое движение атома водорода, как чисто периодическое, и прежде всего зададимся вопросом о стационарных состояниях, соответствующих этому движению. Энергия этих состояний определяется выражением (7), выведенным из водородного спектра. При данной энергии системы, как уже упоминалось, могут быть определены большая ось эллипса и число обращений. Вводя в формулы (7) и (8) выражение (12) для 𝐾, мы получаем для энергии, большой оси и частоты оборотов в 𝑛-м стационарном состоянии невозмущённого атома соответственно выражения
𝐸
𝑛
=
-𝑊
𝑛
=-
1
𝑛2
2π2𝑒4𝑚
ℎ2
,
2𝑎
𝑛
=
𝑛
2
ℎ2
2π2𝑒2𝑚
,
ω
𝑛
=
1
𝑛3
2π2𝑒4𝑚
ℎ3
.
(17)
Что касается формы орбиты, то мы должны далее предполагать, что в стационарных состояниях системы она остаётся неопределённой, т. е. эксцентриситет может принимать какие угодно непрерывно изменяющиеся значения. Это следует непосредственно из принципа соответствия, ибо число оборотов зависит только от энергии, но не от эксцентриситета. То же следует из того факта, что присутствие произвольно малых внешних сил вызывает в общем случае конечное изменение положения и эксцентриситета орбиты, в то время как большая ось испытывает только малые изменения, пропорциональные возмущающей силе.
Рассмотрим теперь более подробно определение стационарных состояний системы в присутствии данного постоянного внешнего силового поля; на основе принципа соответствия мы должны исследовать, каким образом эти внешние силы влияют на разложение движения на гармонические колебания. Как уже упоминалось, влияние внешних сил сказывается в том, что положение и форма орбиты будут непрерывно изменяться. В общем случае зависимость этих изменений от времени будет столь сложна, что мы не в состоянии разложить возмущённое движение на гармонические компоненты. В этом случае мы должны ожидать, что возмущённая система не имеет резко выраженных стационарных состояний. Предполагая по-прежнему, что излучение всегда монохроматично и определяется правилом частот, мы всё же не можем в этом случае ожидать спектра, состоящего из резких линий; внешние силы вызовут размытие спектральных линий невозмущённой системы. Однако в некоторых случаях возмущения могут иметь столь правильный характер, что возмущённая система допускает разложение на гармонические колебания, хотя совокупность этих колебаний будет, естественно, более сложного типа, чем в невозмущённой системе. Такое изменение произойдет, например, в том случае, когда изменение орбиты во времени будет периодическим. В этом случае в движении системы появятся гармонические колебания, являющиеся кратными числа периодов возмущений орбиты, и в спектре, который можно ожидать согласно обычной теории излучения, должны появиться компоненты соответствующих частот. Принцип соответствия приводит нас поэтому непосредственно к предположению о том, что всякому стационарному состоянию невозмущённой системы соответствует некоторое число состояний возмущённой системы. При переходе между каждыми из двух таких состояний излучается свет, частота которого так же связана с периодическим изменением орбиты, как связан спектр простой периодической системы с движением в стационарных состояниях.
Поучительным примером появления возмущений периодического характера может служить случай атома водорода в однородном электрическом поле. Под влиянием поля положение и эксцентриситет орбиты непрерывно изменяются. Оказывается, однако, что при этих изменениях центр орбиты остаётся в плоскости, перпендикулярной направлению электрического поля, и движение его в этой плоскости чисто периодическое. Когда центр возвращается в исходное положение, орбита также принимает свои первоначальные положение и эксцентриситет, и с этого момента весь цикл орбиты будет повторяться в отношении её геометрической формы и положения. В этом случае определение энергии стационарных состояний возмущённой системы чрезвычайно просто, так как оказывается, что период возмущения не зависит от первоначальной конфигурации орбиты и положения плоскости, в которой движется центр, но определяется большой осью и связанным с ней числом оборотов орбиты. Простое вычисление показывает, что соответствующее число периодов выражается следующей фомулой:
σ
=
3𝑒𝐹
8π²𝑚𝑎ω
,
(18)
где 𝐹 — напряжённость внешнего электрического поля. По аналогии с определением особых значений энергии осциллятора Планка можно ожидать, что разница между энергиями двух различных стационарных состояний, соответствующих одному и тому же стационарному состоянию невозмущённой системы, является просто целым кратным числа периодов возмущения σ, умноженного на ℎ. Мы приходим, таким образом, непосредственно к следующему выражению для энергии стационарных состояний возмущённой системы:
𝐸
=
𝐸
𝑛
+𝑘ℎσ
,
(19)
где 𝐸𝑛 зависит от числа 𝑛 определяющего стационарные состояния невозмущённой системы; 𝑘 — новое целое число, которое может быть в данном случае положительным или отрицательным. Более подробное рассмотрение связи между энергией и движением системы, как мы увидим ниже, приводит к выводу, что 𝑘 должно быть численно меньше 𝑛 если мы, как и раньше, приравняем величину 𝐸𝑛 значению энергии 𝑊𝑛 𝑛-то стационарного состояния невозмущённой системы. Подставляя значения (17) для 𝑊𝑛, ω𝑛 и 𝑎𝑛 в формулу (19), находим:
𝐸
=-
1
𝑛2
2π2𝑒4𝑚
ℎ2
+
𝑛𝑘
3ℎ2𝐹
8π2𝑒𝑚
.
(20)
Задаваясь вопросом о влиянии электрического поля на линии спектра атома водорода, мы получаем на основании условия частот (4) для числа колебаний света, излучаемого при переходе из стационарного состояния 𝑛', 𝑘', в состояние 𝑛'', 𝑘'', следующее выражение:
ν=
2π2𝑒4𝑚
ℎ3
⎧
⎪
⎩
1
(𝑛'')2
-
1
(𝑛'')2
⎫
⎪
⎭
+
3ℎ2𝐹
8π2𝑒𝑚
(𝑛'𝑘'-𝑛''𝑘'')
.
(21)
Эта формула точно совпадает с выведенными Эпштейном и Шварцшильдом формулами, которые, как известно, представляют собой убедительное объяснение частот компонент штарковского расщепления спектральных линий водорода. Вывод этих формул основан на том, что атом водорода в однородном электрическом поле является условно-периодической системой, уравнения движения которой в параболических координатах могут быть решены разделением переменных; поэтому методом, указанным выше, можно определить стационарные состояния.
Рассмотрим теперь несколько подробнее то соответствие, которое существует между изменениями спектра водорода в электрическом поле (как это наблюдается в эффекте Штарка) и разложением возмущённого движения атома на гармонические компоненты. Прежде всего находим, что вместо простого разложения на гармонические компоненты, соответствующего кеплеровскому движению, пространственное смещение ξ электрона в заданном направлении в рассматриваемом случае будет выражаться в виде
