𝑛
𝑟)
𝑒
-μ/ρ
𝑘
2
𝑛
𝑡
.
Мы видим, что в этом выражении член с 𝐽0(𝑘1𝑟) убывает значительно медленнее всех остальных членов с более высокими индексами корней. Более того, для рассматриваемых струй упомянутый первый член будет преобладающим уже у самого отверстия, так как ∂𝑤/∂𝑟 должно сохранять знак в промежутке изменения 𝑟 от 0 до 𝑎. Поэтому скорость некоторого элемента струи с высокой точностью может быть записана в виде
𝑤=𝑐
1
+
𝑑
1
𝐽
0
(𝑘
1
𝑟)
𝑒
-ε𝑡
,
ε=
μ
ρ
⎧
⎪
⎩
π⋅1,2197
𝑎
⎫²
⎪
⎭
,
где 𝑡 — время движения элемента, отсчитываемое с момента его выхода из отверстия.
ПОЛУЧЕНИЕ СТРУИ
При постановке эксперимента наиболее важной проблемой является получение струи, которая удовлетворяла бы предположениям, сделанным выше при теоретическом анализе, и в то же время совершала бы колебания только одного определённого типа.
Очевидно, нельзя надеяться выполнить эти требования на участке струи жидкости в непосредственной близости от отверстия. Не говоря уже о возможном изменении величины коэффициента поверхностного натяжения вследствие очень быстрого растяжения поверхности, было бы очень трудно получить чисто гармонические колебания в этой части струи, так как для этого требуется не только строго определённая форма сечения струи у отверстия, но и строго определённая скорость в каждой точке этого сечения. Хотя первому требованию можно удовлетворить соответствующим выбором формы отверстия [см. формулу (79)], несомненно, что второму требованию удовлетворить очень трудно, в частности, вследствие того, что скорость в середине струи по разным причинам всегда больше, чем вблизи поверхности. Поэтому очень большое значение имеет создание струи достаточно устойчивой, чтобы её колебания можно было изучить на значительном расстоянии от отверстия, где уже происходит выравнивание скоростей благодаря вязкости жидкости.
Струя, испускаемая отверстием в тонкой пластине, не очень устойчива и должна быстро распадаться на капли. Если же в качестве сопла использовать оттянутые стеклянные трубки, то при соответствующей форме отверстия удается получить очень длинные и устойчивые струи.
В экспериментах использовались лишь такие струи, характеристики которых оставались неизменными при двух измерениях.
Отверстия применявшихся трубок имели эллиптическую форму; это достигалось специальным способом нагревания трубки с двух противоположных сторон перед её вытягиванием. Скручивание трубки приводит к вращению струи вокруг её оси, так что плоскость колебаний при этом меняет свою ориентацию по мере удаления от отверстия. Чтобы избежать этого эффекта, приходилось в процессе нагревания и вытягивания трубки держать её концы прикреплёнными к ползункам, которые могли перемещаться вдоль направляющей металлической призмы.
Когда стеклянные трубки были оттянуты и обрезаны, они исследовались под микроскопом, и из них отбирались лишь те, которые имели эллиптическое сечение. После этого исследовались струи, образованные отобранными трубками, с целью проверки симметрии относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через ось струи (об этом пойдёт речь ниже, см. стр. 38).
Выше упоминалось, что вследствие вязкости жидкости колебания на некотором отрезке струи тем лучше соответствуют теоретическому описанию, чем дальше рассматриваемый отрезок расположен от отверстия. Здесь можно проиллюстрировать это явление примером.
Рассмотрим эксперимент, выполненный с трубкой I (см. табл. 2 на стр. 41).
Использовалась струя со средним радиусом 𝑎=0,0675 и скоростью 𝑑=425 см/сек. Струя была столь стабильной, что её длину волны удавалось измерить вплоть до расстояний порядка 35 см от отверстия. Здесь мы рассмотрим такую струю на расстоянии 30 см от отверстия.
Первым следствием вязкости является быстрое затухание первоначального различия в скорости разных точек сечения струи. Расчёт на стр. 28 показывает, что упомянутое различие падает пропорционально 𝑑-ε𝑡, где ε=μ/ρ⋅(π⋅1,2197/𝑎)². Пусть 𝑎=0,0675 и μ/ρ=0,0125 (температура 11,8 °С); при этом ε=40,3. Пусть, далее, 𝑡=30/425; тогда имеем 𝑒-ε𝑡=𝑒-2,844=0,0582. Мы видим, что на рассматриваемом расстоянии различия в скорости примерно в 17 раз меньше, чем у отверстия.
Вязкость является также причиной другого эффекта, состоящего в том, что волны на поверхности струи приближаются к одному определённому типу. Выше был найден общий вид поверхности струи в предположении, что амплитуда колебаний бесконечно мала
𝑟=𝑎+
∑
𝑏
𝑛
cos(𝑛θ+τ
𝑛
)
cos(𝑘
𝑛
𝑧+γ
𝑛
)
𝑒
-ε
𝑛
𝑧
,
где с достаточной точностью можно считать
ε=
μ
ρ
⋅
2𝑛(𝑛-1)
𝑐𝑎²
.
Если положить 𝑎=0,0675, μ/ρ=0,0125, 𝑐=425 и 𝑧=30, мы получим 𝑒-ε2𝑧=0,461, 𝑒-ε3𝑧=0,098, 𝑒-ε4𝑧=0,0096, 𝑒-ε5𝑧=0,00043, 𝑒-ε6𝑧=0,000009 и т. д.
Если теперь уравнение сечения поверхности струи вблизи отверстия имеет вид
𝑟=𝑎+
𝑏
2
cos 2θ cos 𝑘
2
𝑧
+
𝑏
3
cos 3θ cos 𝑘
3
𝑧
+
𝑏
4
cos 4θ cos 𝑘
4
𝑧
+…
то на расстоянии 30 см от отверстия уравнение приближённо можно записать в виде
𝑟=𝑎
+½(
𝑏
2
cos 2θ cos 𝑘
2
𝑧
+
1
5
𝑏
3
cos 3θ cos 𝑘
3
𝑧
+
+
1
50
𝑏
4
cos 4θ cos 𝑘
4
𝑧
+
1
1000
𝑏
5
cos 5θ cos 𝑘
5
𝑧
+…).
Для применявшихся струй член cos 2θ cos 𝑘2𝑧 уже непосредственно у отверстия оказывался преобладающим, а величины 𝑏3, 𝑏5, …, были ничтожно малы по сравнению с 𝑏2 т.е. упомянутое выше обследование обнаруживало почти полную симметрию струи относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через её ось. Таким образом, в описанном эксперименте струя на расстоянии 30 см от отверстия должна совершать почти чисто гармонические колебания.
В экспериментах использовалась обычная водопроводная вода. Для целей исследования было важно получить струю, которая могла течь произвольно долго без изменений (при постоянной скорости и температуре). Чтобы обеспечить нужную постоянную температуру воды, её пропускали из крана через длинную спиральную свинцовую трубку, помещённую в водяную ванну, а затем через регулятор, связанный с газовым нагреванием ванны. Этим способом можно было произвольно долго поддерживать постоянную температуру воды с точностью до 0,01° С.
Рис. 1.
Установка для поддержания постоянного напора схематически изображена на рис. 1. Вода, выходящая из нагревательного аппарата, попадала в стеклянный сосуд A, в котором имелась водосливная трубка В, обеспечивавшая постоянный уровень воды. Из сосуда A вода последовательно переходила в два других сосуда C и D объёмом по 5 литров. В сосуде C также имелась водосливная трубка E. Оба сосуда соединялись изогнутой стеклянной трубкой F большого диаметра. Воду из сосудов можно было выпускать с помощью кранов H и K. Из сосуда D вода с помощью длинной стеклянной трубки L подводилась к стеклянной трубке M. Вся установка располагалась в подвале, резервуары и трубки были укреплены на каменных фундаментах. Перед каждым экспериментом все резервуары и трубки тщательно очищались и промывались, после чего устанавливалась такая скорость потока, чтобы через обе водосливные трубки протекали струйки постоянной, не очень большой интенсивности.
