𝑇

_𝑝

=

𝑇

_𝑒

=

𝑇_𝑒

2

,

получаем

√

𝑇

_𝑒

²+2𝑚

_𝑒

𝑇

_𝑒

=

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒²

4

+

𝑚

_𝑝

𝑇

_𝑒

⎞½

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒²

4

+

𝑚

_𝑒

𝑇

_𝑒

⎞½

⎟

⎠

.

Деление этого соотношения с обеих сторон на √𝑇_𝑒𝑚_𝑝 даёт

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑚_𝑝

+

2𝑚_𝑒

𝑚_𝑝

⎞½

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

4𝑚_𝑝

+

1

⎞½

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

4𝑚_𝑝

+

𝑚_𝑒

𝑚_𝑝

⎞½

⎟

⎠

.

Как и требовали условия задачи, в этом уравнении имеется лишь одна неизвестная величина 𝑇_𝑒/𝑚_𝑝. Мы решим его приближённо, исходя из того факта, что масса покоя электрона приблизительно в 2000 раз меньше массы покоя протона, т.е. 𝑚_𝑒/𝑚_𝑝≪1. Пренебрежём этим отношением в только что полученном выражении и найдём

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑚_𝑝

⎞½

⎟

⎠

≈

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

4𝑚_𝑝

+

1

⎞½

⎟

⎠

-

1

2

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑚_𝑝

⎞½

⎟

⎠

,

3

2

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑚_𝑝

⎞½

⎟

⎠

≈

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

4𝑚_𝑝

+

1

⎞½

⎟

⎠

.

Возводя обе стороны в квадрат, найдём

9

4

𝑇_𝑒

𝑚_𝑝

≈

𝑇_𝑒

4𝑚_𝑝

+

1

,

𝑇_𝑒

𝑚_𝑝

≈

1

2

.

Правильный ответ может отличаться от этого на часть или кратное величины 𝑚_𝑒/𝑚_𝑝=1/2000. Умножая решение с обеих сторон на 𝑚_𝑝𝑐², получим

𝑇

_𝑒,

_обычн

=

𝑇

_𝑒

𝑐²

=

𝑚_𝑝𝑐²

2

=

1000 Мэв

2

=

500

Мэв

.

92. Абсолютно неупругое столкновение

Рис. 118. 4-вектор энергии-импульса составной частицы после абсолютно неупругого соударения.

На первоначально покоившуюся свободную частицу массы 𝑚₁ налетает вторая частица с кинетической энергией 𝑇 и другой массой покоя 𝑚₁. При столкновении частицы слипаются и в дальнейшем движутся вместе. Чему равна масса покоя 𝑚 составной частицы после столкновения? При каких условиях масса покоя составной частицы сводится к ньютоновской величине 𝑚=𝑚₁+𝑚₂? Какой может быть с точки зрения этих условий максимальная величина кинетической энергии 𝑇 налетающей частицы, когда ньютоновский подход приблизительно справедлив? Обсуждение. Чему равен импульс системы до столкновения? Чему равен он после столкновения? Какие величины, изображённые на рис. 118, известны, а какие требуется определить, если дан импульс системы? Применима ли теорема Пифагора к «гипотенузе» этого «треугольника»? ▼

93*. Порождение частиц протонами

Ускорители для получения частиц высоких энергий строятся, в частности, для того, чтобы создавать в больших количествах для исследовательских целей некоторые из частиц с коротким временем жизни, которые в обычных условиях попадают в лаборатории лишь случайно как результат воздействия космических лучей. В процессе их порождения часть кинетической энергии частиц высокой энергии, полученных в ускорителе, превращается в массу покоя этих новых частиц. В 1955 г. Сегре с сотрудниками получил в Калифорнийском университете, Беркли, антипротоны (частицы той же массы, что протоны, но с отрицательным зарядом), бомбардируя пучком протонов покоящуюся мишень, содержащую водород (протоны) ¹). Ряд законов сохранения, действующих в физике элементарных частиц (сохранение заряда, сохранение числа барионов — тяжёлых частиц), требует одновременного создания вместе с антипротоном и обычного протона. Таким образом,налетающий протон и протон мишени должны сохраниться после столкновения, но плюс к этому возникает протон-антипротонная пара. Вопрос: чему равна та минимальная кинетическая энергия налетающего протона, которая способна вызвать образование пары? Эту минимальную кинетическую энергию называют пороговой энергией.

¹) O. Chamberlain, E. Segrè, C. Wiegand, T. Ypsilantis, Phisical Review, 100, 947, (1955).

Рис. 119. Ошибочная диаграмма порогового порождения протон-антипротонной пары в лабораторной системе отсчёта.

а) Первый (некорректный) подход. Проанализируем столкновение, изображённое на рис. 119, когда вся кинетическая энергия налетающего протона превращается в массу покоя, и все четыре присутствующие в конце процесса частицы покоятся. Удовлетворяет ли эта реакция одновременно закону сохранения энергии и закону сохранения импульса?

Рис. 120. Правильная диаграмма порогового порождения протон-антипротонной пары в системе отсчёта ракеты.

б) Второй подход . Найдите систему отсчёта, в которой все четыре частицы конечного состояния могут покоиться, но процесс совместим с законом сохранения импульса. Обсуждение. Система отсчёта, в которой полный импульс равен нулю, называется системой центра масс ¹). В системе центра масс столкновение протекает так, как это изображено на рис. 120. Полная энергия сталкивающихся протонов может быть взята меньшей в том случае, когда все четыре частицы конечного состояния покоятся, чем когда эти четыре частицы разлетаются друг от друга. Почему? (Рассмотрите столкновение в системе центра масс. Пренебрегите электрическим взаимодействием между частицами, так как его роль ничтожно мала при интересующих нас здесь высоких энергиях).

¹) Авторы употребляют здесь изобретённый ими термин система центра импульса, что конечно, соответствует их стремлению развить новую терминологию и связано с отказом пользоваться понятием «масса покоя», однако едва ли он сможет укорениться. Вероятно, было бы лучше говорить о системе нулевого импульса; в переводе был восстановлен традиционный термин «система центра масс».— Прим. перев.