,

соответствующие тому

,

что отличие от идеальной инерциальной системы отсчёта ненаблюдаемо

ε

(

наименьшее отличие

,

доступное обнаружению при помощи данных приборов)

ε≥1⋅10⁻³

м

𝑟

(

расстояние от центра Земли

)

Δ

𝑥

(

расстояние по горизонтали

)

Δ

𝑦

и

Δ

𝑧

(

протяжённость области в двух других направлениях

)

Δ

𝑡

(

время наблюдения

)

𝑟≥𝑟₀=6,4⋅10⁶

м

Δ

𝑥=𝐿≤25

м

При обсуждении взяты равными нулю; мы их приравняем нулю и здесь, так как в дальнейшем они не рассматриваются [часть (в)]

Δ

𝑡≤21⋅10⁸

м

(7

сек

)

2) Более общий случай. Пробная частица 𝐵 отстоит на расстоянии Δ𝑥 от пробной частицы 𝐴. Обе они находятся на одинаковом расстоянии 𝑟 от центра притяжения и рассматриваются в течение времени Δ𝑡. Обозначим через 𝑎 общую величину ускорения этих частиц под действием притягивающего центра (в м/сек²), а через 𝑎*=𝑎/𝑐² — величину того же ускорения, измеренную в метрах расстояния за квадратный метр времени. Показать, что ускорение частицы 𝐵 относительно 𝐴, (Δ𝑎^𝑥)* (в метрах расстояния на квадратный метр времени), даётся формулой

(

Δ

𝑎

^𝑥

)*

=-

Δ𝑥

𝑟

𝑎*

.

(52)

(Считать входящие в рассмотрение углы настолько малыми, что их синусы и тангенсы можно приравнять друг другу).

б) Отличие второго рода: относительное ускорение параллельно направлению притяжения.

1) Общий случай. Пробная частица 𝐵 отстоит на расстоянии Δ𝑧 от пробной частицы 𝐴, и на одной прямой с ними на расстоянии 𝑟 находится притягивающий центр. Таким образом, частица 𝐵 находится дальше от центра, чем 𝐴, и на неё действует меньшая сила. Поэтому 𝐵 отстаёт в своём падении от 𝐴, а наблюдатель, расположенный на 𝐴, найдёт, что на 𝐵 действует ускорение в положительном направлении оси 𝑧. Показать, что это относительное ускорение (выраженное в метрах расстояния за квадратный метр времени) равно

(

Δ

𝑎

^𝑧

)*

=

+2

Δ𝑧

𝑟

𝑎*

.

(53)

(Совет: воспользуйтесь тем фактом, что величина 𝑎* убывает обратно пропорционально квадрату расстояния по закону всемирного тяготения Ньютона: 𝑎*=const/𝑟². Возьмите разность сил на расстояниях 𝑟 и 𝑟+Δ𝑧 Воспользуйтесь чрезвычайной малостью Δ𝑧 (каких-нибудь несколько метров) до сравнению с 𝑟 (тысячи километров) и упростите результат).

Рис. 47. Освобождённые на одной вертикали, но на разных высотах грузы удаляются друг от друга в процессе падения. (Масштабы не выдержаны).

2) Частный случай (см. стр. 17). Пусть одна пробная частица находится на высоте 250 м над поверхностью Земли, а другая — на высоте 275 м. Насколько увеличится разность высот (25 м) этих частиц за те (приблизительно) 7 сек, пока они не упадут на Землю? [Наводящий вопрос: во сколько раз различаются численные значения для Δ𝑎^𝑧 в (б1) и для Δ𝑎^𝑥 в (а2)?] Дополните (или, если угодно, пересмотрите) на основании этого результата таблицу на стр. 99.

в) Случай, когда исследуемая область далека от центра Земли.

Агентство космических исследований расширяет опыты над пробными частицами и космическими лучами. Исследовательская группа приходит к заключению, что использовавшаяся в прежних исследованиях область недостаточно обширна для проведения новых программ, а время 7 сек недостаточно велико. Руководство утверждает их заявку на размеры области Δ𝑥=200 м, Δ𝑦=200 м, Δ𝑧=100 м и время 100 сек с тем же допуском, что и раньше (ε=1⋅10⁻³ м =1 мм). На расстояние скольких земных радиусов от центра Земли нужно забросить с помощью ракет оборудование, чтобы отклонение системы отсчёта от идеально инерциальной было менее приемлемого нижнего предела? (Некоторые возможные попутные вопросы: как изменяется в зависимости от расстояния 𝑟 от центра Земли величина 𝑎*? Как зависят от 𝑟 величины (Δ𝑎^𝑥)* и (Δ𝑎^𝑧)*? Как зависят Δ𝑥 и Δ𝑧 от (Δ𝑎^𝑥)*, (Δ𝑎^𝑧)* и от времени Δ𝑡?) ▼

33*. Опыт Майкельсона — Морли ¹)

¹ A.A. Michelson, E.W. Morley, American Journal Of Science, 34, 333 (1887). Логическое место этого опыта в теории относительности разобрано в статье: Н. P. Robertson, Reviews of Modern Physics, 21, 378 (1949). (См. историю опыта Майкельсона— Морли в книге: Б. Джефф, Майкельсон и скорость света, ИЛ, М., 1963.— Прим. перев.)

а) Пусть самолёт движется относительно воздуха со скоростью 𝑐 (не скорость света!) из пункта 𝐴 в пункт 𝐵. В направлении от 𝐵 к 𝐴 дует со скоростью 𝑣 сильный ветер. Показать, что время полёта по замкнутому маршруту от 𝐴 до 𝐵 и обратно до 𝐴 превышает в этом случае время такого же полёта по замкнутому маршруту в условиях безветрия в 1/[1-(𝑣²/𝑐²)] раз. Парадокс: Казалось бы, ветер должен был бы ускорять полёт в одну сторону и замедлять — в другую в равной мере. Почему же тогда время полёта по замкнутому маршруту различно в зависимости от того, дует ветер или нет? Дайте этому простое физическое объяснение. Что произойдёт в том случае, когда скорость ветра близка к скорости самолёта?

б) Пусть теперь тот же самолёт летит по замкнутому маршруту между 𝐴 и 𝐶. Расстояние между этими пунктами то же, что между 𝐴 и 𝐵, но направление 𝐴𝐶 перпендикулярно направлению 𝐴𝐵, так что при полёте между 𝐴 и 𝐶 самолёт движется поперёк ветра. Показать, что время полёта по замкнутому маршруту между 𝐴 и 𝐶 превышает в этом случае время такого же полёта по замкнутому маршруту в условиях безветрия в 1/[1-(𝑣²/𝑐²)] раз.

в) Пусть из пункта 𝐴 одновременно с одинаковой скоростью относительно воздуха вылетают два самолёта. Один летит из 𝐴 в 𝐵 и назад в 𝐴 сначала против ветра, а затем по ветру (скорость ветра равна 𝑣). Другой самолёт летит из 𝐴 в 𝐶 и назад в 𝐴 всё время поперёк ветра. Какой из них вернётся первым в 𝐴 и чему будет равен промежуток времени между моментами их возвращения? Покажите с помощью формулы разложения бинома, что при 𝑣≪𝑐 этот промежуток времени можно приближённо выразить как

Δ

𝑡

=

𝐿

2𝑐

𝑣²

𝑐²

где 𝐿 — длина пути по замкнутому маршруту между 𝐴 и 𝐵 (и между 𝐴 и 𝐶).

г) Пусть на Южном полюсе находится Центр снабжения исследовательских станций, расположенных на окружности радиуса 300 км с центром в полюсе. Каждый понедельник множество грузовых самолётов одновременно вылетает из Центра и летит по радиусам во всех направлениях на одной и той же высоте. Каждый самолёт сбрасывает над своей станцией грузы и сразу же направляется обратно на базу. На холме, с которого удобно обозревать Центр снабжения, стоит распорядитель с секундомером в руках. Он обнаруживает, что не все самолёты возвращаются на базу одновременно. Его ставит в тупик такой разнобой, ибо по точным промерам он знает, что: 1) расстояния от базы до всех станций одинаковы, 2) каждый самолёт его эскадрильи летит относительно воздуха с одной и той же скоростью, а именно 300 км/час, и 3) путь каждого самолёта относительно поверхности Земли представляет собой прямую, соединяющую Центр со станцией (как туда, так и обратно). В конце концов наш распорядитель решает, что разброс во времени возвращения самолётов связан с ветром, дующим на той высоте, где летят самолёты. По своему секундомеру он обнаруживает, что интервал времени между моментами возвращения первого и последнего самолётов равен 4 сек. Чему равна тогда скорость, с которой дует ветер на той высоте, где летят самолёты? И что может сказать распорядитель о направлении этого ветра?