Рис. 42. Наблюдатель в системе 𝑂 ожидает, что снаряд, выпущенный, когда точки 𝑎 и 𝑎' совпадали, не попадёт в другой корабль.

Рис. 43. Наблюдатель в системе 𝑂' ожидает, что снаряд, выпущенный, когда точки 𝑎 и 𝑎' совпадали, попадёт в другой корабль. ▼

27*. Парадокс часов ¹)

¹) Ряд статей, в которых разбирается парадокс часов, вместе с упоминаниями о многих других публикациях см. в сборнике Special Relativity Theory, Selected Reprints, published for the American Association of Physics Teachers by the American Institute of Physics, 335 East 45th Street, New York 17, New York, 1963. [Парадокс часов часто называют «парадоксом близнецов».— Прим. перев.]

(Первый вариант: см. также упражнения 49, 51 и 81).

Близнецы Пётр и Павел расстались в тот день, когда им исполнилось по 21 году. Пётр отправился в направлении оси 𝑥 на 7 лет своего времени (2,2⋅10⁸ сек, или 6,6⋅10¹⁶ м времени) со скоростью 24/25 = 0,96 скорости света, после чего сменил скорость на обратную и за 7 лет вернулся назад, тогда как Павел оставался на Земле, а) В каком возрасте вернулся Пётр? б) Начертите диаграмму пространства-времени, изображающую движение Петра. Укажите на ней 𝑥- и 𝑡-координаты точек поворота и встречи. Для простоты прибегните к идеализации, приняв Землю за инерциальную систему отсчёта, к которой и приурочьте вашу диаграмму, выбрав за начало координат событие отлёта Петра, в) Сколько лет было Павлу в момент встречи? ▼

28*. Предметы, движущиеся быстрее света ²)

²) См. Milton A. Rothman, Things that go Faster than Light, Scientific American, 203, 142 (July, 1960).

Формулы преобразования Лоренца теряют смысл, если принять величину относительной скорости движения двух систем отсчёта больше скорости света. Считается, что вследствие этого масса, энергия и информация (сообщения) не могут передаваться от точки к точке быстрее света. Проверьте этот вывод на следующих примерах.

Рис. 44. Может ли точка пересечения 𝐴 двигаться со скоростью, превышающей скорость света?

а) Парадокс ножниц. Очень длинный прямой стержень, наклонённый под углом φ к оси 𝑥, движется вниз с постоянной скоростью (рис. 44). Найдите скорость β_𝐴, с которой движется точка пересечения 𝐴 нижней грани стержня и оси 𝑥. Может ли эта скорость превзойти скорость света? Можно ли использовать движение точки 𝐴 для передачи сообщения из начала координат наблюдателю, расположенному далеко на оси 𝑥?

б) Предположим, что тот же стержень первоначально покоился, а точка пересечения 𝐴 совпадала с началом координат. Затем та область стержня, которая находилась в начале координат, подвергалась удару молотом, пославшему её вниз. Точка пересечения двинулась вправо. Можно ли было использовать такое движение точки пересечения для передачи сообщения со скоростью, превышающей скорость света?

в) Будем быстро вращать мощный прожектор таким образом, чтобы его луч двигался в одной плоскости. Пусть в этой же плоскости на равных расстояниях от прожектора, но вдали друг от друга находятся два наблюдателя — 𝐴 и 𝐵. Как далеко они должны расположиться от прожектора, чтобы его луч пробегал от 𝐴 до 𝐵 быстрее, чем мог бы пройти световой сигнал от 𝐴 до 𝐵? Перед тем как занять свои места, наблюдатели получили следующие инструкции:

Инструкция для 𝐴: Увидев луч прожектора, немедленно выстрелить в 𝐵.

Инструкция для 𝐵: Увидев луч прожектора, немедленно пригнуться, чтобы избежать пули, посланной 𝐴.

Не передаётся ли при таких обстоятельствах предупреждение от 𝐴 к 𝐵 со скоростью, большей скорости света?

г) В некоторых руководствах к осциллографам пишется, что скорость луча на экране превышает скорость света. Возможно ли это? ▼

Г. ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ

29. Синхронизация движущимися часами — подробный пример

Мистер Энгельсберг не признаёт нашего метода синхронизации часов световыми сигналами (разд. 4). Он заявляет: «Я могу синхронизировать свои часы тем способом, какой мне понравится». Прав ли он? Мистер Энгельсберг хочет синхронизировать пару тождественных часов (назовём их Биг Бен и Литтл Бен), расположенных в миллионе миль друг от друга (чуть больше, чем в 1,5⋅10⁹ м), относительная скорость которых равна нулю. Он берёт для этого третьи часы той же конструкции, что двое первых, и заставляет их двигаться с постоянной скоростью между ними. При прохождении мимо Биг Бена эти часы устанавливаются на то время, которое он показывает в этот момент. Когда движущиеся часы проходят мимо Литтл Бена, этот последний ставится по времени, которое показывают движущиеся часы. «Вот теперь Биг Бен и Литтл Бен синхронизированы»,— объявляет мистер Энгельсберг. Прав ли он? Насколько именно рассинхронизированы при этом Биг Бен и Литтл Бен, если это проверить по решётке часов, покоящейся относительно их и синхронизированной обычным методом световых сигналов? Подсчитайте величину рассинхронизированности, если мистер Энгельсберг пользуется третьими часами, движущимися со скоростью сто тысяч миль в час (4,5⋅10⁴ м/сек). Есть ли какая-нибудь причина (не считая субъективного предпочтения), почему никто из нас не пользуется методом синхронизации, предлагаемым мистером Энгельсбергом?

Решение. Проведём сначала количественный расчёт. Для наблюдения за движущимися (третьими) часами можно воспользоваться решёткой часов, покоящейся относительно Биг Бена и Литтл Бена, которую мы синхронизировали стандартным методом световых сигналов. Относительно этой решётки третьи часы движутся со скоростью 𝑣=4,5⋅10⁴ м/сек, т.е.

β

=

𝑣

𝑐

=

4,5⋅10⁴ м/сек

3⋅10⁸ м/сек

=

1,5⋅10⁴

м

Длины за 1 м светового времени.

При такой скорости третьи часы покрывают расстояние между Биг Беном и Литтл Беном за срок Δ𝑡=10¹³ м светового времени. Сравнивая показания стрелок движущихся часов и часов решётки, мимо которых они поочерёдно проходят, мы сталкиваемся с эффектом замедления времени (упражнение 10. По отношению к часам решётки движущиеся часы будут идти медленнее в (√1-β²)⁻¹ раз. Поэтому эти движущиеся (третьи) часы зарегистрируют в качестве срока путешествия от Биг Бена до Литтл Бена время

Δ

𝑡'

=

Δ

𝑡

√

1-β²

=

Δ

𝑡

⋅

(1-2,25⋅10⁻⁸)¹

^/

².

Воспользуемся разложением для бинома

(1-δ)¹

^/

²

=

1

-

δ

2

-

δ²

8

-…

≈

1

-

δ

2

,

(так как величина δ мала) и получим приближённый ответ

Δ

𝑡'

=

Δ

𝑡

-

1

2

⋅2,25⋅10⁻⁸

Δ

𝑡

,

или

Δ

𝑡'

-

Δ

𝑡

=-

1,12⋅10⁻⁸

⋅

10¹³

=-

1,12⋅10⁵

м

=

=-

0,4⋅10⁻³

сек

.

(51)

Поставим стрелки Литтл Бена по движущимся часам, а затем сверим их с соседними часами решётки. Литтл Бен будет отставать от часов решётки на 0,4 миллисекунд (мсек).