𝑝

=

-

∫

𝑆.𝔄𝑑ρ

.

(7)

Вектор 𝔄 и его составляющие 𝐹, 𝐺, 𝐻 зависят от положения элемента 𝑑𝑠 в поле, но не от направления, в котором он проведён. Следовательно, они являются функциями координат 𝑥, 𝑦, 𝑧 элемента 𝑑𝑠, но не его направляющих косинусов 𝑙, 𝑚, 𝑛.

Вектор 𝔄 и по направлению, и по величине представляет собой интеграл по времени от электродвижущей напряжённости, действие которой испытывала бы частица, помещённая в точку (𝑥,𝑦,𝑧) при внезапном прекращении первичного тока. Поэтому мы назовём его Электрокинетическим Импульсом в точке (𝑥,𝑦,𝑧). Он равен той величине, которую мы исследовали в п. 405 под названием вектор-потенциала магнитной индукции.

Электрокинетический импульс любой конечной линии или контура есть линейный интеграл вдоль этой линии или контура от составляющей электрокинетического импульса в каждой точке этой линии или контура.

591. Найдём теперь значение 𝑝 для элементарного прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, сторонами которого являются 𝑑𝑦 и 𝑑𝑧, а положительным направлением - направление от оси 𝑦 к оси 𝑧 [рис. 37].

Рис. 37

Пусть координатами 𝑂 центра тяжести элемента будут 𝑥_𝑜, 𝑦_𝑜, 𝑧_𝑜, а 𝐺_𝑜, 𝐻_𝑜 - значения 𝐺 и 𝐻 в этой точке.

Координаты 𝐴 - средней точки первой стороны прямоугольника - равны 𝑦_𝑜 и 𝑧_𝑜-𝑑𝑧/2. Соответствующее значение 𝐺 есть

𝐺

=

𝐺

_𝑜

-

1

2

𝑑𝐺

𝑑𝑧

𝑑𝑧

+

…,

(8)

и часть величины 𝑝, возникающая со стороны 𝐴, приблизительно равна

𝐺

_𝑜

𝑑𝑦

-

1

2

𝑑𝐺

𝑑𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(9)

Аналогично

для

𝐵,

𝐻

_𝑜

𝑑𝑧

+

1

2

𝑑𝐻

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

для

𝐶,

-𝐺

_𝑜

𝑑𝑦

-

1

2

𝑑𝐺

𝑑𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

для

𝐷,

-𝐻

_𝑜

𝑑𝑧

+

1

2

𝑑𝐻

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

Складывая эти четыре величины, находим значение 𝑝 для четырехугольника, а именно

𝑝

=

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐻

𝑑𝑦

-

𝑑𝐺

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(10)

Если теперь ввести три новых величины 𝑎, 𝑏, 𝑐, таких, что

𝑎

=

𝑑𝐻

𝑑𝑦

-

𝑑𝐺

𝑑𝑧

,

𝑏

=

𝑑𝐹

𝑑𝑧

-

𝑑𝐻

𝑑𝑥

,

𝑐

=

𝑑𝐺

𝑑𝑥

-

𝑑𝐹

𝑑𝑦

,

(A)

и рассматривать их в качестве составляющих нового вектора 𝔅, тогда, согласно теореме IV п. 24, мы можем выразить линейный интеграл от 𝔄 вдоль любого замкнутого контура в виде поверхностного интеграла от 𝔅, взятого по поверхности, ограниченной контуром, таким образом:

𝑝

=

∫

⎛

⎜

⎝

𝐹

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

𝐺

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

𝐻

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

=

=

∬

(

𝑙𝑎

+

𝑚𝑏

+

𝑛𝑐

)

𝑛𝑆

,

(11)

или

𝑝

=

∫

𝑇.𝔄 cos ε 𝑑𝑠

=

𝑇.𝔅 cos η 𝑑𝑆

,

(12)

где ε есть угол между 𝔄 и 𝑑𝑠, а η - угол между 𝔅 и нормалью к 𝑑𝑆, направляющие косинусы которой равны 𝑙, 𝑚, 𝑛; 𝑇.𝔄, 𝑇.𝔅 обозначают численные значения 𝔄 и 𝔅.

При сравнении этого результата с уравнением (3) становится очевидным, что величина 𝐼 в том уравнении равна 𝔅 cos η, т.е. проекции 𝔅 на нормаль к 𝑑𝑆.

592. Мы уже видели (пп. 490, 541), что в соответствии с теорией Фарадея явления электромагнитной силы и индукции в контуре зависят от изменения числа линий магнитной индукции, проходящих сквозь контур. Теперь же число этих линий выражено математически в виде поверхностного интеграла от магнитной индукции, взятого по любой поверхности, ограниченной данным контуром. Следовательно, мы должны считать, что вектор 𝔅 и его составляющие 𝑎, 𝑏, 𝑐 представляют собой то, с чем мы уже знакомы как с магнитной индукцией и её составляющими.

В настоящем исследовании мы предполагаем вывести свойства этого вектора из принципов динамики, установленных в последней главе, как можно меньше обращаясь при этом к эксперименту.

Отождествляя этот вектор, возникший как результат математических исследований, с магнитной индукцией, свойства которой мы узнали из опытов с магнитами, мы не отступаем от указанного метода, ибо не вводим в теорию новых фактов, а только даём наименование некоторой математической величине. О правомерности такого действия следует судить по согласованности соотношений между математическими и физическими величинами, носящими одинаковые названия.

Вектор 𝔅, поскольку он фигурирует в поверхностном интеграле, принадлежит, очевидно, к категории потоков, описанных в п. 12, а вектор 𝔄 принадлежит, наоборот, к категории сил, так как он появляется в линейном интеграле.

593. Теперь мы должны восстановить в памяти те соглашения о положительных и отрицательных величинах и направлениях, некоторые из которых были установлены в п. 23. Мы принимаем правую систему осей, а именно такую, в которой, если винт с правой нарезкой смотрит вдоль оси 𝑥, а гайка поворачивается на винте в положительном направлении, т.е. от направления 𝑦 к 𝑧, она будет перемещаться вдоль винта в положительном направлении 𝑥.

Мы считаем также положительными стекловидное электричество и аустральный магнетизм. Положительным направлением электрического тока или линии электрической индукции является такое направление, в котором двигается или стремится двигаться положительное электричество, а положительное направление линии магнитной индукции есть направление, в котором указывает стрелка компаса тем своим концом, который поворачивается к северу, см. рис. 24 п. 498 и рис. 25 п. 501.

Мы рекомендуем читателю, изучающему предмет, самому выбрать метод, который покажется ему наиболее эффективным, и тем самым надёжно закрепить этот выбор в памяти, ибо куда труднее бывает вспомнить то правило, которое определяет, в каком из двух ранее безразличных вариантов должно быть сделано утверждение, чем правило, выбирающее один вариант из многих.

594. Теперь мы должны вывести из принципов динамики выражения для электромагнитной силы, действующей на проводник, переносящий электрический ток через магнитное поле, а также для электродвижущей силы, действующей на электричество внутри тела, которое движется в магнитном поле. Математический метод, которого мы будем придерживаться, можно сравнить с экспериментальным методом, которым пользовался Фарадей ¹ при исследовании поля с помощью провода, а также с методом, основанным на экспериментах, с которым мы уже имели дело в п. 490. Сейчас же мы должны определить влияние, оказываемое заданными изменениями формы вторичного контура, на величину электрокинетического импульса этого контура 𝑝.