Электромагнитная сила
580. Обозначим через 𝑋' приложенную механическую силу, возникающую от внешних источников и стремящуюся увеличить переменную 𝑥. Согласно общим уравнениям
𝑋'
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑇
𝑑𝑥̇
-
𝑑𝑇
𝑑𝑥
.
Так как выражение для электрокинетической энергии не содержит скорости (𝑥̇), то первый член в правой части исчезает, и мы находим 𝑋'=-𝑑𝑇/𝑑𝑥.
Здесь 𝑋' - внешняя сила, требуемая для уравновешивания сил, возникающих от электрических источников. Её принято обычно рассматривать как реакцию на электромагнитную силу, которую мы будем называть 𝑋 и которая равна и противоположна 𝑋'.
Следовательно, 𝑋=𝑑𝑇/𝑑𝑥, или электромагнитная сила, стремящаяся увеличить какую-либо переменную, равна скорости увеличения электрокинетической энергии на единицу приращения этой переменной при условии, что токи поддерживаются постоянными.
Если в течение всего перемещения, за время которого электродвижущая сила совершает работу 𝑊, токи с помощью батареи поддерживаются постоянными, то электрокинетическая энергия системы за то же время увеличится на 𝑊. Поэтому в дополнение к той энергии, которая расходуется на создание тепла в контуре, из батареи извлекается дополнительно такое же количество энергии 𝑊. Впервые на это было указано сэром У. Томсоном 1 . (Сравните эти результаты с электростатическим свойством в п. 93).
1Nichol’s Cyclopaedia of the Physical Sciences, ed. 1860, article «Magnetism, Dynamical Relations of».
Случай двух контуров
581. Назовём контур 𝐴1 первичным, а контур 𝐴2 - вторичным. Электрокинетическая энергия системы может быть записана в виде
𝑇
=
1
2
𝐿𝑦̇
1
²
+
𝑀𝑦̇
1
𝑦̇
2
+
1
2
𝑁𝑦̇
2
²
где 𝐿 и 𝑁 - коэффициенты самоиндукции первичного и вторичного контуров соответственно, а 𝑀 - коэффициент их взаимной индукции.
Предположим, что на вторичный контур не действует никакая электродвижущая сила, кроме силы, обусловленной индукцией со стороны первичного контура. Тогда мы имеем
𝐸
2
=
𝑅
2
𝑦̇
2
+
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑀𝑦̇
1
+
𝑁𝑦̇
1
)=
0.
Интегрируя это уравнение по 𝑡, получим
𝑅
2
𝑦
2
+
𝑀𝑦̇
1
+
𝑁𝑦̇
2
=
𝐶
=
const
,
где 𝑦2 - интегральный ток во вторичном контуре.
Метод измерения интегрального тока малой длительности будет описан в п. 748; легко удостовериться, что в большинстве случаев длительность вторичного тока весьма незначительна.
Будем отмечать штрихами величины переменных в уравнении, относящиеся к концу времени 𝑡, тогда, если 𝑦2 обозначает интегральный ток, т.е. полное количество электричества, протёкшее через сечение вторичного контура за время 𝑡, то
𝑅
2
𝑦
2
=
𝑀𝑦̇
1
+
𝑁𝑦̇
2
-(
𝑀'𝑦̇
1
'
+
𝑁'𝑦̇
2
'
).
Пусть вторичный ток возникает целиком благодаря индукции, тогда его начальное значение 𝑦̇2 должно равняться нулю, если перед началом отсчёта времени 𝑡 первичный ток был постоянен, а проводники покоились.
Если время 𝑡 окажется достаточным для того, чтобы дать затухнуть вторичному току, то его конечное значение 𝑦̇2' также равно нулю и уравнение будет таким: 𝑅2𝑦2=𝑀𝑦̇1-𝑀'𝑦̇1'.
В этом случае интегральный ток вторичного контура зависит от начального и конечного значений 𝑀𝑦̇1.
Индуцированные токи
582. Начнём с предположения, что первичный контур разомкнут, т.е. 𝑦̇1=0, и пусть при замыкании контакта в нём устанавливается ток 𝑦̇1.
Вторичный интегральный ток определяется уравнением 𝑅2𝑦2=-𝑀'𝑦̇1'.
Когда контуры помещены рядом друг с другом и имеют одинаковые направления, величина 𝑀' положительна. Поэтому при замыкании первичного контура во вторичном контуре индуцируется отрицательный ток.
При размыкании контакта в первичном контуре первичный ток прекращается, индуцированный интегральный ток равен 𝑦2, причём 𝑅2𝑦2=𝑀𝑦̇1. В этом случае вторичный ток положителен.
Если первичный ток поддерживается постоянным, а форма или относительное положение контуров изменяется так, что 𝑀 становится равным 𝑀', то интегральный вторичный ток будет равен 𝑦2, причём 𝑅2𝑦2=(𝑀-𝑀')𝑦̇1.
В случае двух контуров, помещённых рядом и имеющих одинаковые направления, с увеличением расстояния между контурами величина 𝑀 уменьшается. Поэтому индуцированный ток положителен, когда это расстояние растёт, и отрицателен, когда оно уменьшается.
Все эти элементарные случаи индуцированных токов описаны в п. 530.
Механическое действие между двумя контурами
583. Пусть 𝑥 является любой из геометрических переменных, от которых зависит форма и относительное положение контуров; электромагнитная сила, стремящаяся увеличить 𝑥, равна
𝑋
=
1
2
𝑦̇
1
²
𝑑𝐿
𝑑𝑥
+
𝑦̇
1
𝑦̇
2
𝑑𝑀
𝑑𝑥
+
1
2
𝑦̇
2
²
𝑑𝑁
𝑑𝑥
.
Если движение системы, соответствующее изменению 𝑥, таково, что каждый из контуров перемещается как твёрдое тело, то 𝐿 и 𝑁 будут независимыми от 𝑥, и уравнение сведётся к виду
𝑋
=
𝑦̇
1
𝑦̇
2
𝑑𝑀
𝑑𝑥
.
Следовательно, если первичный и вторичный токи имеют одинаковые знаки, то сила 𝑋, действующая между контурами, будет стремиться смещать их так, чтобы увеличить значение 𝑀.
Если контуры расположены рядом, а токи текут в них в одинаковых направлениях, то 𝑀 будет увеличиваться при их сближении. Таким образом, в этом случае сила 𝑋 оказывается силой притяжения.
584. Все явления взаимодействия двух контуров, будь то индукция токов или механическая сила между ними, зависят от величины 𝑀, названной нами коэффициентом взаимной индукции. Метод расчёта этой величины из геометрических соотношений между контурами дан в п. 524, однако в исследованиях, помещённых в следующей главе, мы не будем предполагать, что математическое выражение для этой величины известно. Мы будем считать, что она найдена из опытов, связанных с индукцией, например, путём наблюдения интегрального тока при внезапном перемещении вторичного контура из данного положения на бесконечное расстояние или в любое такое положение, для которого известно, что 𝑀=0.
ГЛАВА VIII
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЯ С ПОМОЩЬЮ ВТОРИЧНОГО КОНТУРА
585. В п. 582, 583, 584 мы доказали, что электромагнитное действие между первичным и вторичным контурами зависит от некоторой величины, являющейся функцией формы и относительного положения двух контуров и обозначенной нами через 𝑀.
