Ток направляется в одно из этих корытцев, проходит часть дуги окружности между корытцами и покидает её через другое корытце. Таким образом, ток протекает по участку дуги окружности; дуга в то же время имеет возможность достаточно свободно перемещаться в направлении её длины. К этому подвижному проводнику можно теперь приближать любые замкнутые контуры или магниты, не вызывая при этом ни малейших тенденций к его продольному перемещению.
508. В четвёртом опыте с астатическими весами используются два контура, каждый из них подобен одному из контуров в самих весах, но один контур, 𝐶, обладает размерами в 𝑛 раз большими, а другой, 𝐴, - в 𝑛 раз меньшими. Они расположены на противоположных сторонах - от контура весов, которые мы обозначим через 𝐵, и пропорционально удалены от него: расстояние от 𝐶 до 𝐵 в 𝑛 раз превышает расстояние от 𝐵 до 𝐴. Направление и сила тока в 𝐴 и 𝐶 одинаковы. Направление тока в 𝐵 может быть либо таким же, либо противоположным. Как было найдено, в этих условиях 𝐵 оказывается в равновесии под действием 𝐴 и 𝐶, какие бы формы эти три контура ни принимали и на каких бы расстояниях при выполнении приведённых выше соотношений они ни находились.
Поскольку действия между полными контурами могут быть рассмотрены как обусловленные действиями между элементами контуров, мы можем использовать следующий метод установления закона этих действий.
Пусть 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 на рис. 28 - соответствующие элементы трёх контуров, 𝐴2, 𝐵2, 𝐶2 - тоже соответствующие элементы, но в другой части этих контуров. Тогда расположение 𝐵1 относительно 𝐴2 подобно расположению 𝐶1 относительно 𝐵2, но расстояние и размеры 𝐶1 и 𝐵2 в 𝑛 раз превышают расстояние и размеры 𝐵1 и 𝐴2 соответственно. Если закон для электромагнитного действия является функцией расстояния, то действие между 𝐵1 и 𝐴2, какими бы ни были его вид и качественный характер, может быть записано так: 𝐹=𝐵1⋅𝐴2ƒ(𝐵1𝐴2)𝑎𝑏, а действие между 𝐶1 и 𝐵2: 𝐹'=𝐶1⋅𝐵2ƒ(𝐶1𝐵2)𝑏𝑐, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 - силы токов в 𝐴, 𝐵, 𝐶. Но 𝑛𝐵1=𝐶2, 𝑛𝐴2=𝐵2, 𝑛𝐵1𝐴2=𝐶1𝐵2 и 𝑎=𝑐. Отсюда
𝐹'
=
𝑛²
𝐵
1
𝐴
2
ƒ(𝑛
𝐵
1
𝐴
2
)
𝑎𝑏
,
и это, согласно опыту, равно 𝐹, так что мы имеем
𝑛²
ƒ(𝑛
𝐴
2
𝐵
1
)
=
ƒ(
𝐴
2
𝐵
1
)
;
или сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния.
509. Имея в виду эти опыты, следует отметить, что каждый электрический ток образует замкнутый контур. Токи, использованные Ампером, создавались вольтовой батареей и, конечно, текли по замкнутым контурам. Можно было бы предположить, что в случае разряда проводника через искру мы могли бы иметь ток, образующий разомкнутый конечный отрезок, но в соответствии со взглядами этой книги даже этот пример относится к случаю замкнутого контура. Не осуществлено никаких опытов по взаимодействию незамкнутых контуров и, следовательно, не может быть высказано никаких опирающихся на чисто экспериментальные данные утверждений по поводу взаимодействия двух элементов контуров. Правда, мы можем сделать участок контура подвижным, чтобы установить воздействие на него со стороны других токов, но эти токи вместе с током на подвижном участке обязательно образуют замкнутые контуры, так что окончательным результатом опыта снова окажется действие одного или нескольких замкнутых токов либо на весь замкнутый ток, либо на часть его.
510. При анализе этих явлений, однако, мы можем рассматривать действие замкнутого контура на элемент этого же или какого-то другого контура как результирующую нескольких отдельных сил, зависящих от тех отдельных частей, на которые первый контур может быть мысленно, для математических целей, разделён.
И поскольку это чисто математический анализ действия, он является совершенно законным независимо от того, как действуют силы в действительности,- раздельно или нет.
511. Мы начнём с рассмотрения чисто геометрических соотношений между двумя линиями в пространстве, представляющими контуры, а также между элементарными частями этих линий.
Рис. 29
Пусть в пространстве имеется две кривых; на каждой из них берётся какая, нибудь фиксированная точка, от которой в определённом направлении вдоль кривой измеряются дуги. Пусть этими точками будут 𝐴 и 𝐴', а элементами этих двух кривых будут 𝑃𝑄 и 𝑃'𝑄' [рис. 29].
Пусть
𝐴𝑃
=
𝑠,
𝐴'𝑃'
=
𝑠',
⎫
⎬
⎭
𝑃𝑄
=
𝑑𝑠,
𝑃'𝑄'
=
𝑑𝑠'.
(1)
Обозначим расстояние 𝑃𝑃' через 𝑟, угол 𝑃'𝑃𝑄 - через θ, угол 𝑃𝑃'𝑄' - через θ', а угол между плоскостями этих углов - через η.
Относительное положение двух элементов полностью определяется расстоянием 𝑟 между ними и тремя углами θ, θ' и η, поскольку, если эти величины заданы, то относительное положение элементов определено так же полно, как если бы они являлись частью твёрдого тела.
512. Если мы, используя прямоугольные координаты, сделаем 𝑥, 𝑦, 𝑧 координатами точки 𝑃, 𝑥', 𝑦', 𝑧' - координатами точки 𝑃', а через 𝑙, 𝑚, 𝑛 и 𝑙', 𝑚', 𝑛' обозначим соответственно направляющие косинусы 𝑃𝑄 и 𝑃'𝑄', то
𝑑𝑥
𝑑𝑠
=
𝑙,
𝑑𝑦
𝑑𝑠
=
𝑚,
𝑑𝑧
𝑑𝑠
=
𝑛,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
𝑑𝑥'
𝑑𝑠'
=
𝑙',
𝑑𝑦'
𝑑𝑠'
=
𝑚',
𝑑𝑧'
𝑑𝑠'
=
𝑛'
(2)
и
𝑙(𝑥'-𝑥)
+
𝑚(𝑦'-𝑦)
+
𝑛(𝑧'-𝑧)
=
𝑟 cos θ,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
𝑙'(𝑥'-𝑥)
+
𝑚'(𝑦'-𝑦)
+
𝑛'(𝑧'-𝑧)
=-
𝑟 cos θ',
𝑙𝑙'
+
𝑚𝑚'
+
𝑛𝑛'
=
cos ε,
(3)
где ε - угол между направлениями самих элементов, а
cos ε
=
-
cos θ
cos θ'
+
sin θ
sin θ'
cos η
.
(4)
Далее,
𝑟²
=
(𝑥'-𝑥)²
+
(𝑦'-𝑦)²
+
(𝑧'-𝑧)²
,
(5)
отсюда
𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑠
=
-
(𝑥'-𝑥)²
𝑑𝑥
𝑑𝑠
-
(𝑦'-𝑦)²
𝑑𝑦
𝑑𝑠
-
(𝑧'-𝑧)²
𝑑𝑧
𝑑𝑠
,
