4πμℭ
=
∇²𝔄
+
∇𝐽
(4)
где
𝐽
=
𝑑𝐹
𝑑𝑥
+
𝑑𝐺
𝑑𝑦
+
𝑑𝐻
𝑑𝑧
.
(5)
Объединяя уравнение (3) и (4), мы получаем
μ
⎛
⎜
⎝
4π𝐶
+
𝐾
𝑑
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
𝑑𝔄
𝑑𝑡
+
∇Ψ
⎞
⎟
⎠
+
∇²𝔄
+
∇𝐽
=
0,
(6)
что можно выразить в виде следующих трёх уравнений:
μ
⎛
⎜
⎝
4π𝐶
+
𝐾
𝑑
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑡
+
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
∇²𝐹
+
𝑑𝐽
𝑑𝑥
=
0,
μ
⎛
⎜
⎝
4π𝐶
+
𝐾
𝑑
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐺
𝑑𝑡
+
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
+
∇²𝐺
+
𝑑𝐽
𝑑𝑦
=
0,
μ
⎛
⎜
⎝
4π𝐶
+
𝐾
𝑑
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐻
𝑑𝑡
+
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
∇²𝐻
+
𝑑𝐽
𝑑𝑧
=
0,
(7)
Это общие уравнения для электромагнитных возмущений.
Если мы продифференцируем эти уравнения по 𝑥, 𝑦 и 𝑧 соответственно и сложим, то получим
μ
⎛
⎜
⎝
4π𝐶
+
𝐾
𝑑
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐽
𝑑𝑡
-
∇²Ψ
⎞
⎟
⎠
=
0.
(8)
Если среда непроводящая, то 𝐶=0, а член ∇²Ψ, пропорциональный объёмной плотности свободного электричества, не зависит от 𝑡. Следовательно, величина 𝐽 должна быть либо линейной функцией 𝑡, либо постоянной, либо нулём; поэтому при рассмотрении периодических возмущений мы можем не учитывать 𝐽 и Ψ.
Распространение волн в непроводящей среде
784. В этом случае 𝐶=0, и уравнения принимают вид
𝐾μ
𝑑²𝐹
𝑑𝑡²
+
∇²𝐹
=
0,
𝐾μ
𝑑²𝐺
𝑑𝑡²
+
∇²𝐺
=
0,
𝐾μ
𝑑²𝐻
𝑑𝑡²
+
∇²𝐻
=
0.
(9)
В этом виде уравнения сходны с уравнениями движения несжимаемого упругого твёрдого тела, и при заданных начальных условиях их решение можно выразить в форме, данной Пуассоном 2 и применённой Стоксом 3 к теории дифракции.
2 Мéт. de l’Acad., t. III, p. 130, et seq.
3Cambridge Transactions, vol. IX, p. 1-62 (1849).
Запишем
𝑉
=
1
√𝐾μ
(10)
Если значения 𝐹, 𝐺, 𝐻 и 𝑑𝐹/𝑑𝑡, 𝑑𝐺/𝑑𝑡, 𝑑𝐻/𝑑𝑡 заданы в каждой точке пространства в момент (𝑡=0), то мы можем определить их значения в любой последующий момент времени следующим образом.
Пусть 𝑂 будет точка, в которой мы желаем определить 𝐹 в момент времени 𝑡. Опишем сферу с центром в точке 𝑂 и радиусом 𝑉𝑡. Найдём начальное значение 𝐹 в каждой точке сферической поверхности и возьмём среднее от всех этих значений 𝐹. Найдём также начальные значения 𝑑𝐹/𝑑𝑡 в каждой точке сферической поверхности, и пусть среднее от всех этих значений будет 𝑑𝐹/𝑑𝑡.
Тогда значение 𝐹 в точке 𝑂 в момент времени 𝑡 будет равно:
𝐹
=
𝑑
𝑑𝑡
(
𝐹
𝑡)
+
𝑡
𝑑𝐹
𝑑𝑡
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
Аналогично
𝐺
=
𝑑
𝑑𝑡
(
𝐺
𝑡)
+
𝑡
𝑑𝐺
𝑑𝑡
,
𝐻
=
𝑑
𝑑𝑡
(
𝐻
𝑡)
+
𝑡
𝑑𝐻
𝑑𝑡
.
(11)
785. Таким образом, оказывается, что картина в точке 𝑂 в произвольный момент времени зависит от той картины, которая имела место на расстоянии 𝑉𝑡 в момент времени, предшествующий рассматриваемому и отделённому от него интервалом 𝑡, т.е. любое возмущение распространяется через среду со скоростью 𝑉.
Предположим, что, когда 𝑡 равно нулю, величины 𝔄 и 𝔄̇ равны нулю везде, за исключением некоторого объёма 𝑆. Тогда их значения в точке 𝑂 в момент времени 𝑡 будут равны нулю, если только сферическая поверхность с центром в точке 𝑂 и радиусом 𝑉𝑡 не лежит целиком или частично внутри объёма 𝑆. Если 𝑂 находится вне объёма 𝑆, возмущений в точке 𝑂 не будет до тех пор, пока 𝑉𝑡 не станет равным кратчайшему расстоянию от 𝑂 до объёма 𝑆. Тогда в точке 𝑂 возникнет возмущение и будет продолжаться до тех пор, пока 𝑉𝑡 не станет равным максимальному расстоянию от 𝑂 до произвольной части 𝑆. В этот момент возмущение в 𝑂 прекратится навсегда.
786. Величина 𝑉 в п. 784, выражающая скорость распространения электромагнитных возмущений в непроводящей среде, в соответствии с уравнением (10) равна 1/√𝐾μ.
Если средой является воздух и мы примем электростатическую систему измерений, то 𝐾=1, а μ=1/𝑣² так что 𝑉=𝑣, т.е. скорость распространения численно равна числу электростатических единиц электричества в одной электромагнитной единице. Если мы примем электромагнитную систему, то 𝐾=1/𝑣², а μ=1, так что уравнение 𝑉=𝑣 по-прежнему остаётся верным.
По теории, согласно которой свет является электромагнитным возмущением, распространяющимся в той же самой среде, через которую передаются и другие электромагнитные действия, величина 𝑉 должна быть скоростью света, т.е. величиной, значения которой оценивались несколькими способами. С другой стороны, 𝑣 является числом электростатических единиц электричества в одной электромагнитной единице; методы определения этой величины описаны в последней главе. Они совершенно независимы от методов отыскания скорости света. Следовательно, совпадение или расхождение значений 𝑉 и 𝑣 обеспечивает проверку правильности электромагнитной теории света.
787. В приведённой таблице основные результаты непосредственного измерения скорости света (как в воздухе, так и в межпланетном пространстве) сопоставляются с основными результатами сравнения электрических единиц:
Скорость света
(в метрах в секунду)
Отношение
электрических единиц
