Все эти проблемы включают в себя два аспекта: 1) разложение поля на совокупность независимых осцилляторов; 2) взаимодействие каждого из таких осцилляторов с внешним потенциалом или с другими системами. Разложение поля на совокупность независимых осцилляторов уже было подробно рассмотрено нами в этой главе.
Чтобы быть готовым к рассмотрению проблемы в целом, остаётся только исследовать поведение отдельного осциллятора под действием внешнего потенциала. Полное рассмотрение проблемы будет дано в следующей главе.
Для начала вернёмся несколько назад к изучению отдельного гармонического осциллятора, но будем учитывать его линейное взаимодействие с некоторым внешним потенциалом (возмущений). Лагранжиан для такой системы запишем в виде
𝐿
=
𝑀
2
𝑥̇²
-
𝑀ω²
2
𝑥²
-
γ(𝑡)𝑥
,
(8.136)
где γ(𝑡) — внешняя сила. Для удобства примем, что эта сила действует только в интервале времени от 𝑡=0 до 𝑡=𝑇, так что осциллятор является свободным как в начальном состоянии при 𝑡=0, так и в конце при 𝑡=𝑇. Подобная задача была уже нами полностью решена, когда в задаче 3.11 мы вычисляли амплитуду 𝐾(𝑏,𝑎) вероятности перехода осциллятора из точки 𝑥𝑎 в момент времени 𝑡=0 в точку 𝑥𝑏 в момент 𝑡=𝑇. Но для нас сейчас была бы необходима амплитуда перехода 𝐺𝑚𝑛 для осциллятора, который первоначально находился в состоянии 𝑛, а затем в момент 𝑇 оказался в состоянии 𝑚. Такой подход часто оказывается более удобным, чем координатное рассмотрение.
В § 1 мы определили волновые функции φ𝑛 для свободного гармонического осциллятора, а в задаче 3.11 вычислили ядро, описывающее вынужденное движение гармонического осциллятора. Исходя из этого, можно определить амплитуду 𝐺𝑚𝑛 прямыми подстановками в выражение
𝐺
𝑚𝑛
=
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐸𝑚𝑇
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
φ
𝑚
(𝑥
𝑏
)
𝐾(𝑥
𝑏
,𝑇;𝑥
𝑎
,0)
φ
𝑛
(𝑥
𝑎
)
𝑑𝑥
𝑎
𝑑𝑥
𝑏
.
(8.137)
Для случая 𝑚=𝑛=0 этот интеграл будет гауссовым, несколько утомительным в оценке, но не представляющим никаких особых трудностей. В результате получим
𝐺
00
=
exp
⎡
⎢
⎣
-
1
2𝑚ωℏ
𝑇
∫
0
𝑡
∫
0
γ(𝑡)
γ(𝑠)
𝑒
-𝑖ω(𝑡-𝑠)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
.
(8.138)
Если 𝑚 и 𝑛 не равны нулю, то интеграл оказывается несколько более сложным. Однако можно использовать тот же способ, который мы уже применяли в задаче 8.1. Попытаемся найти амплитуду вероятности перехода вынужденного гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила, из состояния 𝑓 в состояние 𝑔, если эти состояния соответствуют условиям задачи 8.1. Искомая амплитуда будет равна
𝐹(𝑏,𝑎)
=
∞
∑
𝑚=0
∞
∑
𝑛=0
𝐺
𝑚𝑛
𝑓
*
𝑚
(𝑏)
𝑓
𝑛
(𝑎)
𝑒
-𝑖𝐸𝑚𝑇/ℏ
=
=
∞
∑
𝑚=0
∞
∑
𝑛=0
𝐺
𝑚𝑛
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑀ω
4ℏ
(𝑎²+𝑏²)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
×
×
𝑎𝑛𝑏𝑚
√𝑚!𝑛!
⎧
⎪
⎩
𝑀ω
2ℏ
⎫(𝑚+𝑛)/2
⎪
⎭
𝑒
-𝑖ω𝑇/2
,
(8.139)
где 𝑀 — масса частицы [см. выражение (8.28)]. Если мы сможем вычислить этот функционал, то получим 𝐺𝑚𝑛, умножая 𝐹(𝑏,𝑎) на exp[(𝑀ω/4ℏ)(𝑎²+𝑏²)] и разлагая полученное выражение в ряды по степеням 𝑎 и 𝑏. Поэтому нам удобнее сперва вычислить
𝐹(𝑏,𝑎)
=
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑀ω
2ℏ
(𝑥
2
-𝑏)²
⎤
⎥
⎦
×
×
𝐾(𝑥
2
,𝑇;𝑥
1
,0)
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑀ω
2ℏ
(𝑥
1
-𝑎)²
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
,
(8.140)
где 𝐾(𝑥2,𝑇;𝑥1,0) — ядро, описывающее гармонический осциллятор под действием внешней силы [см. (3.66)]. Переменные интегрирования здесь появляются только как квадратичные величины в экспоненте подынтегрального выражения, так что все интегрирование легко может быть выполнено. После некоторых простых, но довольно утомительных алгебраических преобразований получаем
𝐹(𝑏,𝑎)
=
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑀ω
4ℏ
(𝑎²+𝑏²-2𝑎𝑏𝑒
-𝑖ω𝑇
)
+
+
𝑖
⎧
⎪
⎩
𝑀ω
2ℏ
⎫½
⎪
⎭
(𝑎β+𝑏β*𝑒
-𝑖ω𝑇
)
-
-
1
2𝑀ωℏ
𝑇
∫
0
𝑡
∫
0
γ(𝑡)
γ(𝑠)
𝑒
-𝑖ω(𝑡-𝑠)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑒
-𝑖ω𝑇/2
(8.141)
где
β
=
1
𝑀√2ω
∫
γ(𝑡)
𝑒
-𝑖ω𝑡
𝑑𝑡
,
(8.142)
β*
=
1
𝑀√2ω
∫
γ(𝑡)
𝑒
+𝑖ω𝑡
𝑑𝑡
,
(8.143)
Величины 𝐺00 могут быть легко получены из выражения (8.141) подстановкой 𝑎=𝑏=0. Результат совпадает с выражением (8.138). Умножая далее на экспоненту, как описано выше, и обозначая
𝑥
=
⎧
⎪
⎩
𝑀ω
2ℏ
⎫½
⎪
⎭
𝑎,
𝑦
=
⎧
⎪
⎩
𝑀ω
2ℏ
⎫½
