Каждая отдельная мода, которой соответствует определённое направление поляризации, ведёт себя подобно независимому осциллятору.
Предположим, что мы имеем дело с кристаллом объёма 𝑉. Попробуем подсчитать количество мод, волновые числа которых лежат в элементарном 𝑘-объёме 𝑑³𝐤=𝑑𝑘𝑥𝑑𝑘𝑦𝑑𝑘𝑧 и около значения 𝐤. Мы предполагаем кристалл прямоугольным с длинами граней 𝐿𝑥, 𝐿𝑦 и 𝐿𝑧. Применив результаты, полученные в одномерном рассмотрении, видим, что дискретные величины 𝑘𝑥 различаются друг от друга на 2π/𝐿𝑥, так что в интервале 𝑑𝑘𝑥 имеется 𝑑𝑘𝑥𝐿𝑥/2π дискретных значений 𝑘𝑥. Применяя те же самые соображения к другим направлениям, мы найдём, что число дискретных значений 𝐤 во всем объёме 𝑑³𝐤 составляет
𝑑𝑘𝑥𝑑𝑘𝑦𝑑𝑘𝑧
(2π)³
𝐿
𝑥
𝐿
𝑦
𝐿
𝑧
=
𝑑³𝐤
(2π)³
𝑉
.
(8.117)
Этот результат получен нами (переходя к большим кристаллам) для кристалла любой формы.
В общем случае модовая частота ω𝑘, как мы уже упоминали, является очень сложной функцией 𝐤, имеющей несколько ветвей значений для одного и того же 𝐤, но её определение есть задача классической физики, поэтому вид колебаний в основных модах, как и описывающие их нормальные координаты, будут известны. Квантовомеханическая задача, сводится в этом случае к рассмотрению простого набора осцилляторов, и отсюда уже нетрудно определить все свойства квантовомеханической системы. Возбуждение каждой моды обычно называется возбуждением фонона.
В качестве очень простого конкретного примера рассмотрим моды продольных колебаний в изотропном твёрдом теле (т.е. продольную составляющую звуковых волн). Можно начать такое рассмотрение тем же путём, что и в одномерном случае для дискретно расположенных атомов, переходя далее к длинноволновому пределу — приближению непрерывной среды.
Полное решение такой задачи определило бы нам все эффекты дисперсии, комплексные ветви решений и поперечные волны, что, конечно, весьма интересно. Однако нет необходимости выполнять все эти шаги для того, чтобы получить квантовомеханический аналог приближения непрерывной среды. Можно непосредственно воспользоваться результатами классической физики; вся процедура, включающая переход от дискретных точечных масс к длинноволновому пределу, оказывается в квантовомеханическом рассмотрении столь же полезной и оправданной, как и в классическом. Лагранжиан в обоих случаях (если ограничиться рассмотрением потенциалов, с достаточной точностью представимых квадратичной функцией смещений) имеет одинаковую форму. Причина такого сходства результатов классического и квантового подходов в том, что задача сводится к линейному преобразованию — переходу к нормальным координатам в рамках приближения непрерывной среды, а эти операции и там и тут имеют одинаковый вид.
Выпишем теперь уравнения, получающиеся в классическом рассмотрении. Пусть 𝑢(𝐫,𝑡) выражает смещение частицы, координата которой в положении покоя есть 𝐫. Допустим, что наше рассмотрение проводится в длинноволновой области, и, следовательно, мы можем применить приближение непрерывной среды. Мода, соответствующая плоской волне, легче всего описывается с помощью преобразования Фурье, которое в этом случае имеет вид
𝐔(𝐤,𝑡)
=
∫
𝑉
𝐮(𝐫,𝑡)
𝑒
𝑖𝐤𝐫
𝑑³𝐫
,
(8.118)
где 𝐫 — пространственный вектор с компонентами 𝑥, 𝑦, 𝑧. Нормальные координаты различных мод зависят от соотношения между направлением 𝐔 и направлением вектора 𝐤, т.е. координата 𝑈𝑥(𝐤,𝑡) вектора 𝐔 не обязательно представляет нормальную моду. Для изотропной среды три моды, определяемые вектором 𝐤, имеют следующие нормальные координаты:
𝑈
1
(𝐤,𝑡)
=
𝐤⋅𝐔
𝑘
(8.119)
(т.е. компоненту 𝑈 в направлении 𝑘)
𝑈
2
(𝐤,𝑡)
𝐞
1
⋅𝐔
,
(8.120)
𝑈
3
(𝐤,𝑡)
𝐞
2
⋅𝐔
,
(8.121)
где 𝐞1 и 𝐞2 — два единичных вектора, перпендикулярных и 𝐤, и между собой. Ограничим наше рассмотрение той частью кинетической и потенциальной энергии, которая соответствует продольным модам, определённым соотношением (8.119), и не будем обращать внимания на поперечные колебания.
Используя классические результаты, можно написать лагранжиан для продольных мод в виде
𝐿
=
ρ
2
∭
⎧
⎨
⎩
⎡
⎢
⎣
∂𝑈1(𝐤,𝑡)
∂𝑡
⎤²
⎥
⎦
-
𝑐²𝑘²
[
𝑈
1
(𝐤,𝑡)
]²
⎫
⎬
⎭
𝑑³𝐤
(2π)³
.
(8.122)
Мы ввели здесь скорость звука 𝑐=ω/𝑘, которая является функцией от направления распространения волны. Выражение (8.122) представляет собой прямое обобщение одномерного примера. В первоначальных переменных 𝐮(𝐫,𝑡) лагранжиан запишется так:
𝐿
=
ρ
2
∭
⎡
⎢
⎣
⎪
⎪
⎪
∂𝐮
∂𝑡
⎪²
⎪
⎪
-
𝑐²
(𝛁⋅𝐮)²
⎤
⎥
⎦
𝑑³𝐫
.
(8.123)
Первый член в правой части этого выражения — кинетическая энергия, равная половине массы, умноженной на квадрат скорости. Второй член выражает энергию сжатия, определяемого дивергенцией 𝛁⋅𝐮 (деформация сжатия). Энергию поперечной деформации мы здесь не рассматриваем, поскольку пренебрегаем поперечными волнами.
Варьируя лагранжиан по 𝑢, получаем классическое уравнение движения:
1
𝑐²
∂²𝐮
∂𝑡²
=
-𝛁(𝛁⋅𝐮)
.
(8.124)
Если мы определим деформацию сжатия как дивергенцию 𝑢, т.е. как
φ
=
𝛁⋅𝐮
,
(8.125)
то уравнение перепишется в виде
1
𝑐²
∂²φ
∂𝑡²
=
-
∇²φ
,
(8.126)
что в точности совпадает с классическим волновым уравнением.
Выполнив преобразование Фурье уравнения (8.124) и сохранив лишь компоненту exp (𝑖𝐤⋅𝐫), параллельную вектору 𝐤, получим
-
1
𝑐²
∂²𝑈1
∂𝑡²
=
𝑘²𝑈
1
.
(8.127)
Это не что иное, как уравнение отдельного гармонического осциллятора. Отсюда видно, что 𝑈1(𝐤,𝑡) действительно является нормальной координатой.
