приводит нас к обратному преобразованию
𝑞(𝑥)
=
𝐿
2π√𝑁
2π/𝑑
∫
0
𝑄(𝑘)
𝑒
-𝑖𝑘𝑥
𝑑𝑘
.
(8.94)
Чтобы представить величины в их непосредственном физическом смысле, положим реальное значение смещения 𝑗-го атома равным 𝑢𝑗, т.е. 𝑞𝑗=√𝑚𝑢𝑗, где 𝑚 — масса атома, равная ρ𝑑. Пусть 𝑈 — фурье-образ величины 𝑢, т.е.
𝑈(𝑘)
=
𝐿
∫
0
𝑢(𝑥)
𝑒
𝑖𝑘𝑥
𝑑𝑥
;
(8.95)
тогда обратное преобразование даст
𝑢(𝑥)
=
1
2π
∞
∫
-∞
𝑈(𝑘)
𝑒
-𝑖𝑘𝑥
𝑑𝑘
.
(8.96)
Нормальной координатой теперь будет 𝑈(𝑘); через прежнюю нормальную координату 𝑄(𝑘) она выражается так:
𝑈(𝑘)
=
√𝑚𝐿
√𝑁
𝑄(𝑘)
.
(8.97)
Выражение для кинетической энергии, куда входит величина 𝑢(𝑥,𝑡), можно получить с помощью соотношения (8.92):
кинетическая энергия=
1
2
∫
ρ
⎧
⎪
⎩
∂𝑢
∂𝑡
⎫²
⎪
⎭
𝑑𝑥
.
(8.98)
Чтобы выразить потенциальную энергию через новые переменные, необходимо представить разность смещений двух смежных атомов, как непрерывную функцию от координат. Используя приближение непрерывной среды, можно записать
𝑞
𝑖+1
-𝑞
𝑖
=
√
𝑚
[
𝑢(𝑥
𝑖+1
,𝑡)
-
𝑢(𝑥
𝑖
,𝑡)
]
≈𝑑
√
𝑚
∂𝑢
∂𝑥
.
(8.99)
Это означает, что потенциальная энергия равна
𝑉
=
ν²𝑑²
2
𝑚
𝑑
𝐿
∫
0
⎧
⎪
⎩
∂𝑢
∂𝑥
⎫²
⎪
⎭
𝑑𝑥
=
ν𝑐²
2
𝐿
∫
0
⎧
⎪
⎩
∂𝑢
∂𝑥
⎫²
⎪
⎭
𝑑𝑥
.
(8.100)
В последнем равенстве используем константу 𝑐=ν𝑑, которую принято называть коэффициентом упругости. Определить её физически можно следующим образом. Предположим, что мы растягиваем цепочку атомов, которая имеет длину 𝐿, и при этом единичный элемент удлиняется на отрезок ε, т.е. новая длина системы составит 𝐿(1+ε). (Мы рассматриваем статическое растяжение, а не вибрацию.) Это означает, что расстояние между каждой парой атомов увеличится до 𝑑(1+ε) и, следовательно, разность смещений смежных атомов будет равна
𝑞
𝑖+1
-𝑞
𝑖
=
ε
𝑑√
𝑚
.
(8.101)
Используя выражение (8.66), мы получаем величину потенциальной энергии, запасённой в струне при растяжении
𝑉
=
ν²
2
ε²
𝑑²
𝑚𝑁
=
ρ𝑐²
2
ε²
𝐿
.
(8.102)
Таким образом, в пределе при малом е сила, необходимая для растяжения струны, равна
𝑉
ε𝐿
=
ρ𝑐²
ε
.
(8.103)
Последнее равенство даёт напряжение в струне, когда деформация {растяжение на единицу длины) равна ε. Итак, мы имеем
напряжения
деформация
=
ρ𝑐²
=
постоянная упругости
.
(8.104)
Комбинируя выражения (8.98) и (8.100), можно записать лагранжиан так:
𝐿
=
ρ
2
∫
⎧
⎪
⎩
∂𝑢
∂𝑡
⎫²
⎪
⎭
𝑑𝑥
-
ρ𝑐²
2
∫
⎧
⎪
⎩
∂𝑢
∂𝑥
⎫²
⎪
⎭
𝑑𝑥
.
(8.105)
Фундаментальные моды, которые мы здесь рассматриваем, имеют вид exp (𝑖𝑘𝑥), а нормальные координаты имеют вид 𝑈(𝑘,𝑡). Читатель может самостоятельно показать, что если выразить лагранжиан через эти нормальные координаты, то получится
𝐿
=
ρ
2
∫
⎡
⎢
⎣
∂𝑈(𝑘,𝑡)
∂𝑡
⎤²
⎥
⎦
𝑑𝑘
2π
-
ρ𝑐²
2
∫
𝑘²𝑈²(𝑘,𝑡)
𝑑𝑘
2π
.
(8.106)
Систему, которая описывается этим лагранжианом, можно интерпретировать как некий набор гармонических осцилляторов; при этом каждому осциллятору соответствует своё значение 𝑘. В принятом нами приближении непрерывной среды 𝑘 является непрерывной переменной, пробегающей бесконечное число значений. Можно было бы снова вернуться к картине дискретного расположения атомов, вспомнив, что интеграл по 𝑑𝑘 на самом деле является суммой по дискретным значениям 𝑘, причём соседние значения 𝑘 отличаются друг от друга на величину 2π/𝐿 (𝐿 — длина струны), а общее число их равно числу атомов в системе.
Уравнения движения можно выразить в непрерывных переменных, если найти экстремум для интеграла действия
𝑇
∫
0
𝐿
𝑑𝑡
.
Используя лагранжиан 𝐿 из выражения (8.105), получаем
ρ
∂²𝑢
∂𝑡²
=
ρ𝑐²
∂²𝑢
∂𝑥²
.
(8.107)
С помощью рассуждений, подобных выводу соотношения (8.99), можно показать, что это уравнение аналогично ранее полученному уравнению движения (8.68). Уравнение (8.107) имеет решение
𝑢
=
𝑒
-𝑖ω𝑡
𝑎(𝑥)
,
(8.108)
в точности совпадающее с выражением (8.71), где
-ω²𝑎
=
𝑐²
⎧
⎪
⎩
𝑑𝑎
𝑑𝑥
⎫²
⎪
⎭
,
(8.109)
