ψ(𝑥)≈

const

(1+τℏ/2𝑚𝑏²)^½

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚𝑥²

2ℏτ

+

𝑚²(𝑥-τ𝑣₀)²

4ℏ²τ²(𝑖𝑚/2ℏτ-1/2𝑚²)

⎤

⎥

⎦

.

(3.37)

Далее мы должны сделать так, чтобы квантовомеханическая неопределённость импульса ℏ/𝑚 стала очень малой. Выберем для этого ширину щели настолько большой, чтобы величиной 1/𝑚² можно было пренебречь. Тогда амплитуда может быть записана в виде

ψ(𝑥)≈

const⋅exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚𝑣₀

ℏ

𝑥-

𝑖𝑚𝑣₀²

2ℏ

τ

⎫

⎪

⎭

.

(3.38)

Это весьма важный результат: если мы создали условия, при которых известно, что импульс частицы равен 𝑝, то амплитуда вероятности достижения ею точки 𝑥 в момент времени 𝑡

ψ(𝑥)≈

const⋅exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

𝑝𝑥-

𝑖

ℏ

𝑝²

2𝑚

𝑡

⎫

⎪

⎭

.

(3.39)

Мы видим, что это волна с определённым волновым числом 𝑘=𝑝/ℏ. Кроме того, она имеет определённую частоту ω=𝑝²/2𝑚ℏ. Следовательно, можно утверждать, что в квантовой механике свободная частица с импульсом 𝑝 обладает энергией, определяемой как произведение частоты на постоянную ℏ, которая, так же как и в классической механике, равна 𝑝²/2𝑚.

Вероятность попадания в какую-либо точку 𝑝, пропорциональная квадрату модуля соответствующей амплитуды, в этом случае оказывается не зависящей от 𝑝. Следовательно, точное знание скорости частицы означает, что о её положении ничего не известно. При выполнении эксперимента, который даёт нам точное значение скорости частицы, утрачивается возможность точного определения её положения. Мы уже видели, что справедливо и обратное утверждение. Существование квантовомеханического уширения, обратно пропорционального ширине щели 2𝑏, означает, что точное знание положения частицы исключает всякие сведения о её скорости. Таким образом, если вы знаете, где частица находится, то не можете сказать, как быстро она движется; если же вам известно, как быстро она движется, то нельзя сказать, где она. Это ещё одна иллюстрация принципа неопределённости.

§ 3. Результаты в случае щели с резкими краями

От предельного случая вернёмся теперь к случаю, когда ширина щели и квантовомеханическое уширение сравнимы по их величине, а времена и расстояния не слишком велики. Мы уже видели, что гауссова щель приводит к гауссову распределению. Если использовать более реальную щель с резкими краями и вычислить возникающие интегралы Френеля, то распределение вероятности спустя время τ после прохождения щели подобно кривым, изображённым на фиг. 3.6.

Фиг. 3.6. Распределение электронов после прохождения щелей с резкими краями и различной шириной.

В каждом случае вертикальной пунктирной линией показана предсказываемая классической теорией ширина распределения 𝑏₁=𝑏(1+τ/𝑇). Для отношения классической ширины распределения к квантовомеханическому уширению Δ𝑥₁ выбраны три различных значения: 𝑏₁/Δ𝑥₁ = 15 — кривая a; 𝑏₁/Δ𝑥₁ = 1 — кривая б; 𝑏₁/Δ𝑥₁ = ¹/₁₅ — кривая в. В каждом случае распределение простирается за границы классической ширины. Среднеквадратичная ширина распределения приблизительно пропорциональна величине Δ𝑥=[(Δ𝑥₁)²+(𝑏₁)²]^½.

Это распределение выражается формулой

𝑃(𝑥)𝑑𝑥=

𝑚

2πℏ(τ+𝑇)

⎧

⎨

⎩

½[𝐶(𝑢

₁

)-𝐶(𝑢

₂

)]²+

+½[𝑆(𝑢

₁

)-𝑆(𝑢

₂

)]²

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑥,

(3.40)

где

𝑢

₁

=

𝑥-τ𝑣₀-𝑏(1+τ/𝑇)

(πℏτ/𝑚)(1+τ/𝑇)

, 𝑢

₂

=

𝑥-τ𝑣₀+𝑏(1+τ/𝑇)

(πℏτ/𝑚)(1+τ/𝑇)

(3.41)

а 𝐶(𝑢) и 𝑆(𝑢) — действительная и мнимая части интегралов Френеля. Первый множитель в этом распределении в точности совпадает с распределением вероятности для свободной частицы, задаваемым выражением (2.6). Остальная часть содержит некоторую комбинацию действительной и мнимой частей интегралов Френеля ¹). Именно эта часть ответственна за многообразие кривых, изображённых на фиг. 3.6.

¹) См. [3], стр. 125.— Прим. ред.

Таким образом, результаты для обеих щелей в общих чертах одинаковы. С наибольшей вероятностью частица находится внутри классической проекции щели. Всё, что вне её — результат квантовомеханического уширения.

Движение частицы сквозь щель рассматривалось нами так, как если бы оно состояло из двух отдельных движений: сначала частица движется к щели, а затем от щели до точки наблюдения. В области щели движение как бы расчленяется. Может возникнуть вопрос, как при таком «разделяющемся на части» движении частица «помнит» свою скорость и в основном сохраняет направление движения, предписываемое классической физикой? Или, другими словами, каким образом уменьшение ширины щели вызывает «потерю памяти», до тех пор пока в пределе все скорости частицы не станут равновероятными?

Чтобы понять это, исследуем амплитуду, описывающую движение к щели. Она в точности равна амплитуде вероятности для свободной частицы, определяемой выражением (3.3), где 𝑥_𝑎=𝑡_𝑎=0, 𝑥_𝑏=𝑥₀+𝑦 и 𝑡_𝑏=𝑇. При смещении поперёк щели (меняется 𝑦) обе части амплитуды, действительная и мнимая, изменяются синусоидально. Как мы уже видели, длина волны этих синусоидальных колебаний тесно связана с импульсом [см. формулу (3.10)]. Последующее движение частицы является, как и в оптике, результатом интерференции этих волн. Эта интерференция конструктивна (т.е. усиливает волны) в основном направлении, предписываемом классической механикой, и, вообще говоря, деструктивна (т.е. гасит их) в других направлениях.

Если на ширине щели укладывается большое число волн, т.е. щель очень широкая, то в результате интерференции возникает довольно острый пик и движение становится почти классическим. Предположим, однако, что щель сделана чрезвычайно узкой и на её ширине не укладывается даже одна волна. Тогда не будет никаких осцилляций, которые приводили бы к интерференции, и информация о скорости частицы теряется. Поэтому в пределе, когда ширина щели стремится к нулю, все скорости частицы становятся равновероятными.

§ 4. Волновая функция

Мы уже построили амплитуду вероятности того, что частица достигнет некоторой определённой точки пространства и времени, тщательно прослеживая её движение, в результате которого она попадает в эту точку. Однако часто бывает полезно рассматривать амплитуду перехода в точку пространства без всякого обсуждения предшествующего движения. Поэтому будем обозначать через ψ(𝑥,𝑡) полную амплитуду вероятности перехода в точку (𝑥,𝑡) из некоторого (возможно, неопределённого) прошлого. Такая амплитуда обладает теми же самыми вероятностными свойствами, что и изученные уже нами амплитуды, т.е. вероятность найти частицу в точке 𝑥 в момент времени 𝑡 равна |ψ(𝑥,𝑡)|² . Эту разновидность амплитуды будем называть волновой функцией. Различие между этой амплитудой и изученными ранее заключается лишь в способе обозначения. Каждому часто приходится слышать: система находится в «состоянии» ψ. Это лишь выражение другими словами того, что система описывается волновой функцией ψ.