Если все b_i = 0 (систему Л. у. называют в этом случае однородной), то при D ¹ 0 решение системы (2) будет нулевым (т. е. все x_k = 0). В практике часто, однако, встречаются однородные системы Л. у. с числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, т. е. системы вида:

  Решение такой системы неоднозначно; из неё, как правило, можно найти только отношение неизвестных:

  x₁ : x₂ : ... : x_n = D₁ : D₂ : ... : D_n,

  где D_n — умноженный на ( — 1)^k определитель, полученный из матрицы коэффициентов a_ij системы (3) вычёркиванием какого-то столбца (это правило применимо только тогда, когда хотя бы один из определителей D_i отличен от 0).

  Впервые решение систем (2) было получено Г. Крамером в 1750; правило для нахождения решения этих систем носит до сих пор название правила Крамера. Построение полной теории систем Л. у. было закончено только спустя 100 лет Л. Кронекером.

  Общая система m Л. у. с n неизвестными имеет вид:

  Вопрос о совместности системы Л. у. (4), т. е. вопрос о существовании решения, решается сравнением рангов матриц

  и

  Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В больше ранга матрицы Л, то система несовместна (теорема Кронекера — Капелли). В случае совместности системы, её решения можно найти следующим образом. Найдя в матрице А отличный от нуля минорнаибольшего порядка г, отбрасывают m — r уравнений, коэффициенты которых не вошли в этот минор (отбрасываемые уравнения будут следствиями оставшихся, и поэтому их можно не рассматривать); в оставшихся уравнениях переносят направо те неизвестные, коэффициенты которых не вошли в выбранный минор (свободные неизвестные). Придав свободным неизвестным любые числовые значения, получают систему из r уравнений с r неизвестными, которую можно решить по правилу Крамера. Найденные значения r неизвестных вместе со значениями свободных неизвестных дадут некоторое частное (т. е. одно из многих возможных) решение системы (4). Можно, не давая свободным неизвестным конкретных значений, непосредственно выразить через них остальные неизвестные. Так получается общее решение, т. е. решение, в котором неизвестные выражены через параметры; давая этим параметрам произвольные значения, можно получить все частные решения системы.

  Однородные системы Л. у. можно решать таким же способом. Решения их обладают тем свойством, что сумма, разность и вообще любая линейная комбинация решений (рассматриваемых как n-мерные векторы) также будет решением системы. Другими словами: совокупность всех решений однородной системы Л. у. образует линейное подпространство n-мерного векторного пространства. Систему решений, которые сами линейно независимы и позволяют выразить любое другое решение в виде их линейной комбинации (т. е. базис линейного подпространства), называют фундаментальной системой решений однородной системы Л. у.

  Между решениями системы Л. у. (4) и соответствующей однородной системы Л. у. (т. е. уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных, но со свободными членами, равными нулю) существует простая связь: общее решение неоднородной системы получается из общего решения однородной системы прибавлением к нему какого-либо частного решения неоднородной системы Л. у.

  Большой наглядности изложения в теории Л. у. можно добиться, используя геометрический язык. Привлекая при этом к рассмотрению линейные операторыв векторных пространствах (рассматривая уравнения вида Ax = b, А — линейный оператор, х и b — векторы), легко установить связь рассматриваемых алгебраических Л. у. с Л. у. в бесконечномерных пространствах (системы Л. у. с бесконечным числом неизвестных), в частности с Л. у. в функциональных пространствах, например линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения (см. Интегральные уравнения) и др.

  Применение правила Крамера при практическом решении большого числа Л. у. может встретить значительные трудности, т. к. нахождение определителей высокого порядка связано со слишком большими вычислениями. Были поэтому разработаны различные методы численного (приближённого) решения систем Л. у. (см. Численное решение уравнений).

  Лит.: Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М. — Л., 1951; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М. — Л., 1963.

Лине'йно-ле'нточной кера'мики культу'ра, археологическая культура эпохи раннего неолита (конец 5 — начало 4-го тыс. до н. э.), распространённая в Средней Европе. Является частью дунайских культур. Характеризуется единообразной керамикой сферических и полусферических форм, украшенной орнаментом из лент, состоящих из 2—3 углублённых линий (S-образные спирали, меандры). Линии иногда пересечены ямками («нотная керамика»). Из орудий характерны колодкообразные топоры. Известны крупные поселения этой культуры: Кёльн-Линденталь, Билани (Чехия), Флорешты (Молдавская ССР), состоящие из больших столбовых домов и землянок. Население занималось земледелием (пшеница, ячмень) и скотоводством (крупный и мелкий рогатый скот, свиньи).

  Лит.: Пассек Т. С., Черныш Е. К., Памятники культуры линейно-ленточной керамики на территории СССР, М., 1963; Hoffman Е., Die Kultur der Bandkerarnik in Sachsen, Tl 1 — Die Kerarnik, B., 1963.

  В. С. Титов.

Лине'йные войска', 1) в 18—19 вв. в армиях различных государств Л. в. называли тяжёлую (линейную) пехоту, действовавшую в сомкнутом строю и наносившую главный удар, в отличие от лёгкой пехоты, которая действовала в рассыпном строю и выполняла вспомогательные задачи. Линейной иногда называлась также тяжёлая кавалерия.

  2) Войска в русской армии, охранявшие главным образом пограничные укрепленные линии. Л. в. появились в 1804. К 1856 было 84 линейных батальона: 18 Грузинских, 16 Черноморских, 13 Кавказских, 12 Финляндских, 10 Оренбургских и 15 Сибирских. Все они (кроме Черноморских) сводились в пехотные бригады (по 5—7 батальонов), а Финляндские, Оренбургские и Сибирские, кроме того, и в пехотные дивизии. В 1858 Грузинские и Черноморские батальоны были переименованы в Кавказские, а в 1867 Оренбургские и часть Сибирских — в Туркестанские. К началу 20 в. все линейные войска были переформированы в стрелковые и резервные. В 1832—60 существовало Кавказское линейное казачье войско.

Лине'йные дифференциа'льные уравне'ния, дифференциальные уравнения вида

  y⁽ⁿ⁾ + p₁(x) у^(n-1) + ... + p_n(x)y = f(x), (1)

  где у = y(x) — искомая функция, y⁽ⁿ⁾, у^(n-1),..., y' — её производные, a p₁(x), p₂(x),..., p_n(x) (коэффициенты) и f(x) (свободный член) — заданные функции (см. Дифференциальные уравнения). В уравнение (1) искомая функция у и её производные входят в 1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно называется линейным. Если f(x) º 0, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае — неоднородным. Общее решение y = y(x) однородного Л. д. у. при условии непрерывности его коэффициентов p_k(x) выражается формулой: