Литмир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

  Лит.: Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г., Линейное программирование, М., 1969.

  В. Г. Карманов.

Линейное пространство

Лине'йное простра'нство, тоже, что векторное пространство. В функциональном анализе рассматриваются главным образом бесконечномерные пространства. Примером бесконечномерного Л. п. может служить пространство всех многочленов (с вещественными или комплексными коэффициентами) при обычном определении сложения и умножения на числа. Одним из первых примеров бесконечного Л. п. были гильбертово пространствои пространство С [а, b] непрерывных функций, заданных на отрезке [а, b]. Эти пространства являются нормированными, т. е. такими Л. п., в которых введена норма элемента х — неотрицательное число

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-154357792.png
, обращающееся в нуль лишь при х = 0 и обладающее свойствами
Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-198889800.png
 и
Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-153428156.png
 (неравенство треугольника). Число
Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-161535470.png
 называют расстоянием между элементами х и у (см. также Метрическое пространство). В нормированном Л. п. вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности функционала аналогично тому, как это делается в трёхмерном пространстве.

  В конечномерном пространстве различные нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах нормы могут быть существенно различны. Например, при решении задачи П. Л. Чебышева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен (k — 1)-й степени Pk-i(t), чтобы

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-169925487.png
 
Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-102500254.png

  имел наименьшее значение. Вводя в пространство С[0,1] норму формулой

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-104649498.png
=
Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-117320635.png
 
Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-183914895.png

  эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти многочлен Pk-i(t), расстояние которого от функции t* было бы наименьшим. При рассмотрении же многочленов, ортогональных с весом p(t) (см. Ортогональная система функций), естественно рассматривать норму, определённую формулой

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-106825042.png
,

  и решать задачу о наилучшем приближении в смысле этой нормы. Нормы

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-130008167.png
 и
Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-183523197.png
 существенно различны, так как, например, последовательность функций

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-188388899.png

  по первой норме расходится, а по второй норме при p(t) = 1 сходится к функции

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-180750664.png
.

  Следует отметить, что хотя все функции xn(t) были непрерывны, функция x(t) разрывна. Это связано с тем, что пространство непрерывных функций неполно относительно нормы

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-137054249.png
. При этом нормированное Л. п. называется полным, если для любой последовательности {xn} его элементов, удовлетворяющих условию

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-153962757.png
,

  существует в Л. п. такой элемент х, что данная последовательность сходится к нему, т. е.

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-127662039.png
,

  Если Л. п. неполно, то к нему можно присоединить новые элементы (пополнить его) так, что оно станет полным. Например, пополняя пространство непрерывных функций, взятое с нормой

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-107701195.png
, получают гильбертово пространство L2p. Полные нормированные Л. п. называется банаховыми, или В-пространствами, — по имени изучившего их основные свойства С. Банаха.

  Обобщением понятия B-пространства является понятие топологического Л. п. Так, называют множество Е, если: 1) оно представляет собой Л. п., 2) оно является топологическим пространством, 3) операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. К числу топологического Л. п. относятся все нормированные пространства. А. Н. Колмогоров установил (1934) необходимые и достаточные условия нормируемости топологического Л. п.

  Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.

Линейное судоходство

Лине'йное судохо'дство, см. Морские линии.

Линейное уравнение

Лине'йное уравне'ние, уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени (т. е. линейно) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно одних и тех же неизвестных образуют систему Л. у. Решением системы Л. у. называют набор чисел c1, c2, ..., cn, обращающих все уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных. Система Л. у. может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что система Л. у. не имеет ни одного решения (несовместная система).

  Чаще всего встречается случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Одно Л. у. с одним неизвестным имеет вид:

  ax = b;

  решением его при а ¹ 0 будет число b/a. Система двух Л. у. с двумя неизвестными имеет вид:

 

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-135601997.png
 (1)

  где a11, a12, a21, a22, b1, b2— какие-либо числа. Решение системы (1) можно получить с помощью определителей:

 

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-179534608.png
,

 

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-185646786.png
;

  здесь предполагается, что стоящий в знаменателе определитель

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-117232233.png
 отличен от нуля. В числителях стоят определители, получающиеся из D заменой в нём одного столбца столбцом свободных членов b1, b2; в выражении для первого неизвестного x1 заменяется первый столбец, а в выражении для второго неизвестного x2 — второй.

  Аналогичное правило применимо и при решении любой системы и Л. у. с n неизвестными, т. е. системы вида:

 

Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - i-images-123130841.png
 (2)

  здесь aij и bi (i, j = 1, 2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты; числа b1, b2, ..., bn называют обычно свободными членами. Если определитель D = ½aij½ системы (2), составленный из коэффициентов aij при неизвестных, отличен от нуля, то решение получается следующим образом: k-e (k = 1, 2, ..., n) неизвестное xk равно дроби, в знаменателе которой стоит определитель D, а в числителе — определитель, полученный из D заменой в нём столбца из коэффициентов при отыскиваемом неизвестном (к-го столбца) столбцом свободных членов b1, b2, ..., bn. Если D = 0, то система (2) либо не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное множество решений.

75
{"b":"106123","o":1}