1.3. Приведенная стоимость денежного потока

Денежную сумму, которую необходимо инвестировать сегодня, чтобы через определенное время получить данную будущую стоимость, называют приведенной стоимостью (present value).

Имеет место следующее равенство:

где

РV – приведенная стоимость инвестиции;

FV – будущая стоимость;

Т – срок инвестиции;

r(m) – процентная ставка при начислении процентов m раз в год.

Процентную ставку r(m), используемую для определения приведенной стоимости инвестиции, называют ставкой дисконтирования (discount rate). Если ставка дисконтирования определяется при непрерывном начислении процентов, то формула (1.10) принимает вид:

Пример 1.5. Менеджер пенсионного фонда должен через 6 лет выплатить 10 млн долл. В данный момент менеджер имеет возможность инвестировать любую сумму под 7,5 % при начислении процентов дважды в год. Сколько должен инвестировать менеджер пенсионного фонда, чтобы выполнить свое обязательство?

Приведенная стоимость 10 млн долл. может быть найдена по формуле (1.10):

Следовательно, менеджер должен инвестировать 6 428 989,78 долл., чтобы через 6 лет получить 10 млн долл.

Из равенства (1.10) следует, что при прочих равных условиях:

1) чем больше ставка дисконтирования, тем меньше приведенная стоимость, и наоборот;

2) чем меньше срок инвестиции, тем больше приведенная стоимость, и наоборот.

Приведенная стоимость потока денежных платежей определяется в виде суммы приведенных стоимостей платежей, образующих этот денежный поток.

Пример 1.6. Финансовый директор компании знает, что ему предстоит произвести следующие платежи:

Какую денежную сумму необходимо инвестировать сегодня, чтобы обеспечить выполнение обязательств, если процентная ставка равна 6 % при начислении процентов дважды в год?

Достаточно определить приведенную стоимость данного потока платежей:

Если денежный поток представляет собой обыкновенную ренту, по которой т раз в год в течение Т лет выплачивается одна и та же денежная сумма А, то приведенная стоимость такой ренты может быть найдена следующим образом:

Пример 1.7. Банк согласился предоставить 30-летний ипотечный кредит в размере 100 000 долл. По условиям ипотечного кредитования ежемесячные платежи заемщика должны быть одинаковыми. Годовая процентная ставка, требуемая банком, равна 12 %. Какова величина ежемесячного платежа заемщика?

Величина ежемесячного платежа заемщика определяется из условия, что приведенная стоимость потока платежей заемщика должна составить 100 000 долл. Значит,

Обыкновенную ренту называют бессрочной[14] (perpetual annuity), если поток рентных платежей не ограничен по времени. Приведенная стоимость бессрочной ренты, по которой m раз в год выплачивается сумма А, может быть найдена следующим образом:

1.4. Внутренняя доходность финансовых инструментов

Внутренней доходностью (internal rate of return – IRR) финансового инструмента называют процентную ставку, при которой приведенная стоимость потока платежей по данному финансовому инструменту совпадает с его рыночной ценой.

Пример 1.8. Финансовый инструмент продается по цене 1243,82 долл., и по нему каждые 6 месяцев выплачивается по 50 долл. в течение 5 лет и еще 1000 долл. в конце пятого года. Покажем, что внутренняя доходность данного финансового инструмента при начислении процентов дважды в год составляет 4,5 %.

Приведенная стоимость денежного потока по данному финансовому инструменту определяется следующим образом:

где r(2) – годовая процентная ставка при начислении процентов дважды в год.

При r(2) = 0,045 имеем

Так как приведенная стоимость денежного потока, определяемого финансовым инструментом, совпала с его рыночной ценой, то внутренняя доходность этого инструмента действительно равна 4,5 %.

Рассмотрим финансовый инструмент со следующим потоком платежей:

Внутренняя доходность рассматриваемого финансового инструмента при начислении процентов m раз в год является решением уравнения:

где Р – рыночная цена финансового инструмента.

Функция

стоящая в правой части уравнения (1.14), всегда является убывающей и выпуклой. График функции изображен на рис. 1.1.

Для решения уравнения (1.14) можно использовать метод проб и ошибок. Вначале найдем простым подбором числа α₁ и β₁ так, чтобы P(α₁) > Р, а P(β₁) < Р (рис. 1.2). Тогда искомая внутренняя доходность будет находиться между α₁ и β₁, т. е. у ∈ (α₁, β₁). Промежуток (α₁, β₁) разделим на 10 равных частей. И, вычисляя значение функции Р(у) в точках деления, найдем числа α₂ и β₂ так, чтобы:

Тогда у ∈ (α₂, β₂). Повторяя данную процедуру несколько раз, можно найти достаточно малый промежуток (α₁, β₁), на котором находится искомая внутренняя доходность. В этом случае искомую внутреннюю доходность можно определить на основе линейной интерполяции:

Определим внутреннюю доходность финансового инструмента при начислении процентов дважды в год, если рыночная цена финансового инструмента равна 7000 долл.