1. Если случайная величина t имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы, то

Асимметрия распределения Стьюдента равна 0.

2. При возрастании числа степеней свободы распределение Стьюдента стремится к стандартному нормальному распределению. При этом распределение Стьюдента имеет более тяжелые ветви, чем стандартное нормальное распределение. На рис. 1.26 изображены графики плотности стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента с тремя степенями свободы.

3. Критическим значением распределения Стьюдента с и степенями свободы называют число t_a(n), удовлетворяющее условию:

где α – заданная вероятность.

Критические значения распределения Стьюдента указаны в табл. 1.3.

4. Если случайные величины ξ₁, ξ₂…., ξ_n взаимно независимы и распределены нормально с параметрами (а, σ), то случайная величина

Пример. 1.59. В условиях примера 1.58 найдем доверительный интервал для ожидаемой доходности с надежностью 95 %.

Так как

Согласно табл. 1.3, критическое значение распределения Стьюдента t_0,025(9) = 2, 262.

Следовательно,

Таким образом, с надежностью 95 % ожидаемая доходность казначейских облигаций находится между 6,57 и 6,67 %.

Плотность гамма-распределения Г(α, γ) имеет следующий вид:

Плотность бета-распределения В(α, β) записывается в виде:

Если случайная величина ξ имеет бета-распределение В(α, β), то

Плотность двумерного нормального распределения имеет следующий вид:

Волатильность, или изменчивость (volatility), финансовых показателей играет очень важную роль в управлении финансовыми рисками.

Пусть Y_t – некоторый финансовый показатель (например, цена или доходность некоторого финансового инструмента), наблюдаемый в день t, t = 0, 1, 2, …, T. Положим

Случайная величина X_t представляет собой натуральный логарифм относительного изменения этого показателя за один день, выраженный в процентах. Тогда дневную волатильность данного показателя можно оценить следующим образом:

Иными словами, дневная волатильность принимается равной стандартному отклонению логарифма относительного изменения финансового показателя за один день.

Пример 1.60. В течение 11 последовательных рабочих дней биржи определялась доходность 30-летних казначейских облигаций с нулевыми купонами. Расчет дневной волатильности доходности на основе этой информации приведен ниже.

Таким образом, дневная волатильность доходности 30-летних облигаций с нулевыми купонами оценивается в 0,70 %.

Если случайные величины X_t не коррелируют между собой, то, зная дневную волатильность доходности финансового инструмента, можно оценить волатильность доходности этого инструмента за данный период времени:

В частности, для того чтобы определить годовую волатильность, необходимо для каждого конкретного случая правильно определить число рабочих дней в году. Число рабочих дней в году может быть равным 250, 260 или 365.

Пример 1.61. В примере 1.60 была найдена дневная волатильность доходности 30-летних казначейских облигаций с нулевыми купонами: σдн = 0,70147.

Ниже указана годовая волатильность доходности при разных оценках числа дней в году:

Предположим, что в данный момент времени доходность финансового инструмента равна r. Можно считать, что доходности за один день распределены логнормально с параметрами 0 и σдн. Если логарифмы относительных изменений доходности не коррелируют между собой, то отношение доходности через год к доходности г будет распределено также логнормально, но с параметрами (0, σгод). Следовательно, сама доходность финансового инструмента через год должна иметь логнормальное распределение с параметрами (ln r, σгод).

Если годовая волатильность доходности достаточно мала, то можно считать, что доходность финансового инструмента через год распределена приблизительно нормально с параметрами r и rσгод.

Пример 1.62. Текущая доходность 10-летних казначейских облигаций с нулевым купоном равна 8 %, а годовая волатильность этой доходности равна 15 %.

Можно предположить, что доходность 10-летних облигаций с нулевыми купонами через год будет приблизительно распределена нормально с ожидаемым значением 0,08 и стандартным отклонением 0,08-0,15 = 0,012. Отсюда, в частности, следует, что с вероятностью 95,5 % доходность через год окажется между 0,08-2 • 0,012 = 0,056 и 0,08 + 2 • 0,012 = 0,104, т. е. будет принимать значение между 5,60 и 10,40 %.

Во многих случаях требуется установить зависимость между двумя случайными величинами. Чаще всего предполагается линейная зависимость. Например, при обмене облигаций использовалась линейная зависимость между изменениями доходностей двух облигаций.

Рассмотрим две случайные величины ξ и η и предположим, что когда случайная величина ξ принимает значения X₁, X₂…., X_n, то случайная величина η принимает соответственно значения Y₁, Y₂…., Y_n.