Говорят, что случайная величина ξ распределена нормально (normal distribution), если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

График плотности нормального распределения приведен на рис. 1.24.

1. Если случайная величина ξ распределена нормально с плотностью

2. Плотность нормально распределенной случайной величины симметрична относительно математического ожидания этой случайной величины, т. е. асимметрия a(ξ) = 0.

В частности,

Эксцесс нормального распределения всегда равен 3.

3. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина будет отличаться от своего ожидаемого значения на величину, не превышающую одного, двух или трех ее стандартных отклонений, равна 68,3, 95,5 и 99,75 % соответственно.

Пример 1.54. Инвестор считает, что реализуемая доходность его портфеля облигаций за 6 месяцев имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 7 % и стандартным отклонением 4 %.

Вероятность того, что реализуемая доходность окажется:

4. Если случайная величина ξ распределена нормально с параметрами (a, S), то случайная величина

распределена нормально с параметрами (0, 1), т. е. имеет стандартное нормальное распределение.

Пример 1.55. Менеджер считает, что стоимость управляемого им портфеля облигаций распределена нормально с математическим ожиданием 10 млн долл. и стандартным отклонением 2 млн долл. Его интересует, какова вероятность, что стоимость портфеля окажется между 6 млн и 11 млн долл.

В данном случае

Пример 1.56. Предположим, что в условиях примера 1.55 менеджер хочет найти доверительный интервал для стоимости управляемого им портфеля с надежностью 95 %. Иными словами, требуется найти интервал

Тогда Ф(z) = 0,025. С помощью табл. 1.1 найдем значение z = 1,96. Значит, y = z · S = 1,96 · 2 млн долл. = 3,92 млн долл.

Искомый доверительный интервал: (6,08 млн долл.; 13,92 млн долл.).

Говорят, что положительная случайная величина ξ распределена логнормально (lognormal distribution), если ln ξ имеет нормальное распределение вероятностей. Таким образом, плотность логнормального распределения имеет вид:

График плотности логнормального распределения приведен на рис. 1.25.

1. Логнормальное распределение обладает правосторонней асимметрией (positively skewed), а при малых значениях S = σ(lnξ) близко к нормальному распределению.

2. Если случайная величина ξ имеет логнормальное распределение с параметрами а и S, то

Пример 1.57. Будем считать, что доходность 10-летних облигаций с нулевыми купонами имеет логнормальное распределение с параметрами a = -2,70; S = 0,30.

3. Если две случайные величины распределены логнормально, то их произведение также имеет логнормальное распределение.

Говорят, что случайная величина z имеет распределение х² (chi-squared distribution) с n степенями свободы, если она представима в виде суммы n квадратов взаимно независимых величин со стандартными нормальными распределениями.

Пример 1.58. Даны 10 дневных наблюдений доходности 30-летних казначейских облигаций с нулевым купоном:

Если допустить, что доходность распределена нормально, то оценки математического ожидания и дисперсии доходности можно найти следующим образом:

Доверительный интервал для дисперсии доходности с надежностью 96 % можно найти из условия

Распределение вероятностей случайной величины

называется распределением Стьюдента (Student’s t-distribution) с n степенями свободы, если случайные величины ξ и η независимы, ξ имеет стандартное нормальное распределение, а η – распределение х² с n степенями свободы.