Таким образом, перераспределение излучения между линиями и непрерывным спектром в звёздных атмосферах чаще приводит к появлению квантов в линии, чем к их исчезновению. В частности, благодаря этому процессу должны увеличиваться центральные интенсивности линий поглощения.
Чтобы определить профили линий при учёте действия указанного флуоресцентного механизма, мы должны составить и решить соответствующее уравнение переноса излучения. Сделаем это, следуя Стрёмгрену.
Примем Эддингтоновскую модель атмосферы и будем исходить из уравнения (10.21). Однако вместо формулы (10.1), определяющей величину εν, мы напишем
ε
ν
=
(1-γ)
σ
ν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
+
ε
ν
'
,
(10.40)
где εν' — объёмный коэффициент излучения, обусловленный процессами первого рода, а под γ понимается доля квантов в спектральной линии, испытавших истинное поглощение (т.е. доля атомов, перешедших из второго состояния в ионизованное); введением величины γ учитываются процессы второго рода.
Пользуясь изложенными выше соображениями, легко найти выражение для величины εν'. В глубоких слоях атмосферы, где число процессов первого рода равно числу процессов второго рода,
ε
ν
'
=
γ
σ
ν
𝐼
ν
.
(10.41)
Вместе с тем в тех же слоях 𝐼ν=𝐵ν(𝑇) Поэтому вместо (10.41) имеем
ε
ν
'
=
γ
σ
ν
𝐵
ν
(𝑇)
.
(10.42)
Можно считать, что полученное выражение для εν', сохранится и при переходе от глубоких слоёв атмосферы к более внешним, так как плотность излучения, вызывающего ионизацию атомов из основного состояния, в атмосфере не меняется. Однако чтобы учесть возможное отличие плотности этого излучения в атмосфере звезды от плотности при термодинамическом равновесии, мы введём в правую часть соотношения (10.42) некоторый поправочный множитель 𝑄. Тогда получаем
ε
ν
=
(1-γ)
σ
ν
𝐼
ν
+
𝑄
γ
σ
ν
𝐵
ν
(𝑇)
.
(10.43)
Подставляя (10.43) в (10.21), а также переходя от переменной 𝑟 к τν, находим
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑τν
=
(1+η
ν
)𝐼
ν
-
(1-γ)
η
ν
𝐼
ν
-
-
(1+𝑄γη
ν
)
𝐵
ν
(𝑇)
,
(10.44)
где ην определяется формулой (10.24).
Получим приближённое решение уравнения (10.44), считая, что ην=const. Из этого уравнения имеем
𝑑𝐻ν
𝑑τν
=
(1+γη
ν
)
𝐼
ν
-
(1+𝑄γη
ν
)
𝐵
ν
,
(10.45)
𝑑𝐼ν
𝑑τν
=
3(1+η
ν
)
𝐻
ν
.
(10.46)
Отсюда получается следующее уравнение для определения 𝐼ν:
𝑑²𝐼ν
𝑑τν²
=
3(1+η
ν
)
⎡
⎣
(1+γη
ν
)
𝐼
ν
-
(1+𝑄γη
ν
)
𝐵
ν
⎤
⎦
(10.47)
Решение уравнения (10.47) имеет вид
𝐼
ν
=
𝐶
ν
exp
⎛
⎝
-
𝑏
ν
τ
ν
⎞
⎠
+
1+𝑄γην
1+γην
𝐵
ν
(𝑇₀)
(1+
β
ν
⃰
τ
ν
),
(10.48)
где
𝑏
ν
²
=
3(1+η
ν
)
(1+γη
ν
)
,
(10.49)
а 𝐶ν — произвольная постоянная. Постоянная при exp(𝑏ντν) равна нулю, так как 𝐼ν не может с увеличением τν возрастать экспоненциально. Подставляя (10.48) в (10.46), находим
𝐻
ν
=
1
3(1+ην)
⎡
⎢
⎣
-𝑏
ν
𝐶
ν
exp
⎛
⎝
-
𝑏
ν
τ
ν
⎞
⎠
+
+
1+𝑄γην
1+γην
𝐵
ν
(𝑇₀)
β
ν
⃰
⎤
⎥
⎦
(10.50)
Определяя постоянную 𝐶ν из условия (10.33), получаем следующее выражение для интересующего нас потока излучения на границе звезды:
𝐻
ν
(0)
=
4π
𝐵
ν
(𝑇₀)
1+𝑄γην
1+γην
𝑏ν+βν⃰
3(1+ην)+2𝑏ν
.
(10.51)
Отсюда вытекает, что
𝑟
ν
=
1+𝑄γη
ν
•
𝑏
ν
+β
ν
⃰
•
√
3
+2
.
1+γη
ν
1
+
β
ν
⃰
3(1+η
ν
)+2𝑏
ν
√
3
(10.52)
Полученная формула для 𝑟ν является обобщением формулы (10.37) на случай наличия флуоресценции.
Для того чтобы пользоваться формулой (10.52), надо определить величину γ. Как уже сказано, она равна отношению числа ионизаций из второго состояния к сумме числа ионизаций и числа спонтанных переходов из этого состояния. При помощи эйнштейновских коэффициентов переходов (см. § 8) величина γ представляется в виде
γ
=
𝐵₂₃ρ₂₃
𝐵₂₃ρ₂₃+𝐴₂₁
.
(10.53)
В этой формуле
𝐵₂₃ρ₂₃
=
𝑐
∞
∫
ν₂₃
ρ
ν
𝑘
2ν
