Для грубой оценки температур звёзд Занстра применил изложенный метод в упрощённом виде. Пользуясь формулой (22.33) и тем фактом, что линии 𝙽₁ и 𝙽₂ определяют собой главную часть визуальной светимости туманности, он получил зависимость между температурой звезды 𝑇∗ и разностью звёздных величин ядра и туманности 𝑚∗-𝑚𝑛. Очевидно, что чем больше эта разность, тем выше температура звезды. По наблюдённым значениям разности 𝑚∗-𝑚𝑛 были определены температуры большого числа ядер туманностей. Оказалось, что в некоторых случаях эти температуры достигают 100 000 K. Высокие температуры звёзд, получаемые этим способом, подтверждаются, как правило, и другими признаками, в частности, большой интенсивностью линий 𝙷𝚎 II в спектрах туманностей.
Изложенные в этом параграфе методы определения температур звёзд широко применяются в астрофизике. При помощи этих методов определяют не только температуры ядер туманностей, но и температуры звёзд с яркими линиями в спектрах: звёзд классов Be, Вольфа — Райе, новых и др.
§ 23. Ионизация атомов
1. Число рекомбинаций.
Как было выяснено, в газовых туманностях происходит ионизация атомов под действием излучения горячих звёзд. Вместе с тем в туманностях происходят и обратные процессы — захваты ионами свободных электронов, т.е. рекомбинации атомов. Число ионизаций может быть определено при помощи коэффициента поглощения в непрерывном спектре, введённого в § 5. Теперь мы получим формулы для определения числа рекомбинаций.
Пусть 𝑛⁺ и 𝑛𝑒 — число ионов и число свободных электронов в 1 см³ соответственно, а 𝑓(𝑣) 𝑑𝑣 — доля электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣. Обозначим через β𝑖(𝑣) эффективное поперечное сечение для захвата электрона со скоростью 𝑣 на 𝑖-й уровень. Тогда число захватов электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣, происходящих в 1 см³ за 1 с, будет равно
𝑛⁺𝑛
𝑒
β
𝑖
(𝑣)
𝑓(𝑣)
𝑣
𝑑𝑣
.
Полное число рекомбинаций в 1 см³ за 1 с на 𝑖-уровень мы представим в виде 𝑛𝑒𝑛⁺𝐶𝑖(𝑇𝑒), где 𝑇𝑒 — температура электронного газа. Очевидно, что
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
=
∞
∫
0
β
𝑖
(𝑣)
𝑓(𝑣)
𝑣
𝑑𝑣
.
(23.1)
Величина β𝑖(𝑣) связана с коэффициентом поглощения в непрерывном спектре атомом, находящимся в 𝑖-м состоянии. Для установления этой связи рассмотрим состояние термодинамического равновесия. В этом случае имеет место детальное равновесие, при котором любой процесс уравновешивается обратным процессом. В частности, число ионизаций, происходящих с 𝑖-го уровня при поглощении квантов с частотами от ν до ν+𝑑ν, должно равняться числу захватов на этот уровень электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣 причём
ℎν
=
1
2
𝑚𝑣²
+
χ
𝑖
.
(23.2)
Число ионизаций с 𝑖-го уровня при поглощении квантов с частотами от ν до ν+𝑑ν в 1 см³ за 1 с равно
𝑛
𝑖
𝑘
𝑖ν
⎛
⎜
⎝
1-exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν
𝑘𝑇
⎫
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
𝑐ρν
ℎν
𝑑ν
,
где 𝑛𝑖 — число атомов в 𝑖-м состоянии, 𝑘𝑖ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом (множитель в скобках учитывает отрицательное поглощение), ρν — плотность излучения частоты ν. На основании принципа детального равновесия имеем
𝑛⁺𝑛
𝑒
β
𝑖
(𝑣)
𝑓(𝑣)
𝑣
𝑑𝑣
=
𝑛
𝑖
𝑘
𝑖ν
⎛
⎜
⎝
1-exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν
𝑘𝑇
⎫
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
𝑐ρν
ℎν
𝑑ν
.
(23.3)
Как известно, при термодинамическом равновесии функция 𝑓(𝑣) определяется формулой Максвелла, плотность излучения ρν — формулой Планка и распределение атомов по состояниям — формулами Больцмана и Саха. При помощи перечисленных формул из соотношения (23.3) получаем
β
𝑖
(𝑣)
=
ℎ²ν²
𝑐²𝑚²𝑣²
𝑔𝑖
𝑔⁺
𝑘
𝑖ν
,
(23.4)
где 𝑔𝑖 — статистический вес 𝑖-го состояния данного атома, и 𝑔⁺ — статистический вес основного состояния иона.
Формула (23.4) и даёт искомую связь между величинами β𝑖(𝑣) и 𝑘𝑖ν. Хотя при выводе её предполагалось термодинамическое равновесие, но она верна, разумеется, всегда (так как вероятности поглощения и излучения квантов не зависят от распределения атомов по состояниям и квантов по частотам).
Подставляя (23.4) в (23.1), получаем следующее выражение для коэффициента рекомбинации:
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
=
𝑔𝑖
𝑔⁺
ℎ²
𝑐²𝑚²
∞
∫
0
ν²
𝑣
𝑘
𝑖ν
𝑓(𝑣)
𝑑𝑣
.
(23.5)
Здесь функция 𝑓(𝑣) даётся формулой Максвелла при температуре 𝑇𝑒, т.е.
𝑓(𝑣)
=
4π𝑚³
(2π𝑚𝑘𝑇𝑒)³/²
exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑚𝑣²
2𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
𝑣²
.
(23.6)
Чтобы вычислить величину 𝐶𝑖(𝑇𝑒) по формуле (23.5), надо знать коэффициент поглощения для данного атома. Мы сейчас найдём 𝐶𝑖(𝑇𝑒) для водорода. В этом случае коэффициент поглощения 𝑘𝑖ν Даётся формулой (5.6). Подставляя (5.6) в (23.5) и пользуясь также формулами (23.2) и (23.6), получаем
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
=
2⁹π⁵
(6π)³/²
𝑒¹⁰
𝑚²𝑐³ℎ³
⎛
⎜
⎝
𝑚
𝑘𝑇𝑒
⎞³/₂
⎟
⎠
1
𝑖³
×
×
exp
⎛
⎜
⎝
χ𝑖
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
𝐸₁
⎛
⎜
⎝
χ𝑖
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
,
(23.7)
где 𝐸₁𝑥 — интегральная показательная функция.
Формулу (23.7) можно переписать в виде
