𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
=
3,22⋅10⁻⁶
𝑀
𝑖
(𝑇
𝑒
)
,
(23.8)
где
𝑀
𝑖
(𝑇)
=
1
𝑇³/² 𝑖³
exp
⎛
⎜
⎝
χ𝑖
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
𝐸₁
⎛
⎜
⎝
χ𝑖
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
.
(23.9)
Значения функции 𝑀𝑖(𝑇)⋅10⁸ приведены в табл. 27.
Аналогично могут быть найдены коэффициенты рекомбинации для других атомов.
Таблица 27
Значения функции 𝑀𝑖(𝑇)⋅10⁸
𝑖
𝑇, 𝐾
1 000
5 000
10 000
20 000
50 000
1
20,0
8,8
6,0
3,9
2,3
2
9,8
3,9
2,7
1,6
0,78
3
6,4
2,5
1,4
0,86
0,37
4
4,7
1,6
0,94
0,52
0,21
5
3,5
1,1
0,64
0,34
0,13
6
2,9
0,86
0,46
0,23
0,088
7
2,3
0,66
0,35
0,17
0,062
8
1,9
0,52
0,26
0,13
0,046
2. Степень ионизации в туманности.
При термодинамическом равновесии степень ионизации атомов определяется формулой Саха. В туманностях нет термодинамического равновесия, поэтому мы должны вывести новую ионизационную формулу. Для этого мы воспользуемся тем, что туманности стационарны, т.е. физические условия в них не меняются с течением времени (на самом деле изменение происходит, но очень медленно). Точнее говоря, будем считать, что в каждом объёме число ионизаций равно числу рекомбинаций.
Так как ионизация атомов в туманностях происходит преимущественно из основного состояния, то число ионизаций, совершающихся в 1 см³ за 1 с под действием излучения в интервале частот от ν до ν+𝑑ν равно
𝑛₁
𝑘
1ν
𝑐ρν
ℎν
𝑑ν
.
Плотность излучения в туманности ρν определяется формулой (22.2). Поэтому для полного числа ионизаций, происходящих в единице объёма за единицу времени, получаем
𝑛₁
𝑊
∞
∫
ν₁
𝑘
1ν
𝑐ρν⃰
ℎν
𝑑ν
,
где ν₁ — частота ионизации из основного состояния.
Что же касается рекомбинаций, то они происходят на все уровни. Поэтому полное число рекомбинаций, случающихся в 1 см³ за 1 с, будет равно
𝑛
𝑒
𝑛⁺
∞
∑
1
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
.
Приравнивая друг к другу два последних выражения, имеем
𝑛₁
𝑊
∞
∫
ν₁
𝑘
1ν
𝑐ρν⃰
ℎν
𝑑ν
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
∞
∑
1
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
.
(23.10)
Эта формула и даёт возможность определить степень ионизации атомов в туманности, если известны величины 𝑘1ν и 𝐶𝑖(𝑇𝑒). Однако её можно сильно упростить, воспользовавшись соотношением (23.5). Предварительно перепишем формулу (23.10) в виде
𝑝
𝑛₁
𝑊
∞
∫
ν₁
𝑘
1ν
𝑐ρν⃰
ℎν
𝑑ν
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝐶₁(𝑇
𝑒
)
,
(23.11)
где через 𝑝 обозначена доля захватов на первый уровень. Принимая во внимание соотношение (23.5), а также считая, что величина ρν⃰. даётся формулой Планка с температурой 𝑇∗ а величина 𝑓(𝑣) — формулой Максвелла с температурой 𝑇𝑒 вместо (23.11) находим
𝑝
𝑛₁
𝑊
∞
∫
ν₁
𝑘
1ν
ν² 𝑑ν
=
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν
-1
⎞
⎟
⎠
𝑘𝑇
∗
=
𝑔₁
𝑔⁺
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝑚ℎ³
2(2π𝑚𝑘𝑇𝑒)³/²
×
×
∞
∫
0
𝑘
1ν
ν²
exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑚𝑣²
2𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
𝑣
𝑑𝑣
.
(23.12)
Чтобы вычислить интегралы, входящие в соотношение (23.12), надо знать зависимость 𝑘1ν от частоты. Для разных атомов эта зависимость различна, однако мы примем, что для всех атомов 𝑘1ν∼1/ν². Происходящая от этого ошибка сравнительно невелика, а вычисления существенно упрощаются. После выполнения интегрирования формула (23.12) принимает вид
𝑛𝑒𝑛⁺
𝑛₁
=
𝑔⁺
𝑔₁
𝑝𝑊
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑇∗
⎞½
⎟
⎠
2(2π𝑚𝑘𝑇∗)³/²
ℎ³
×
×
ln
⎛
⎜
⎝
1-
exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν₁
𝑘𝑇∗
⎫
⎪
⎭
⎞-1
⎟
⎠
.
(23.13)
В обычно встречающихся на практике случаях ℎν₁/𝑘𝑇∗≫1. Поэтому вместо (23.13) имеем
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝑛₁
=
𝑔⁺
𝑔₁
𝑝𝑊
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑇∗
⎞½
⎟
⎠
2(2π𝑚𝑘𝑇∗)³/²
ℎ³
exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν₁
𝑘𝑇∗
⎫
⎪
⎭
.
(23.14)
Это окончательный вид формулы ионизации для туманностей.
Мы видим, что формула (23.14) отличается от формулы Саха наличием множителя 𝑝𝑊(𝑇𝑒/𝑇∗)¹/² в правой части. Этот множитель для газовых туманностей очень мал. Однако это не значит, что степень ионизации 𝑛⁺/𝑛₁ также мала. В действительности степень ионизации в туманностях может быть весьма значительной, так как малость коэффициента дилюции 𝑊 компенсируется малостью концентрации свободных электронов 𝑛𝑒.
