-
1
2
τ
∫
0
𝑆(τ')
𝑑τ'
π
∫
π/2
𝑒
-(τ'-τ)secθ
𝑆(τ')
secθ
sinθ
𝑑θ
.
(2.44)
Положим secθ=𝑥 в первом интеграле и -secθ=𝑥 во втором. Учитывая, что secθsinθ𝑑θ=𝑑𝑥/𝑥 вместо предыдущего уравнения получаем
𝑆(τ)
=
1
2
∞
∫
τ
𝑆(τ')
𝑑τ'
∞
∫
1
𝑒
-(τ'-τ)𝑥
𝑑𝑥
𝑥
+
+
1
2
τ
∫
0
𝑆(τ')
𝑑τ'
∞
∫
1
𝑒
-(τ-τ')𝑥
𝑑𝑥
𝑥
.
(2.45)
Так как показатели в обеих экспонентах могут быть представлены в виде -|τ-τ'|𝑥, то (2.45) короче записывается так:
𝑆(τ)
=
1
2
∞
∫
0
𝑆(τ')
𝑑τ'
∞
∫
1
𝑒
-|τ-τ'|𝑥
𝑑𝑥
𝑥
.
(2.46)
Ядро интегрального уравнения (2.46) есть интегральная показательная функция, определяемая формулой
𝐸₁τ
=
∞
∫
1
𝑒
-τ𝑥
𝑑𝑥
𝑥
.
(2.47)
Заметим, что функция 𝐸₁τ при τ=0 имеет логарифмическую особенность, а при τ→∞ стремится к нулю как 𝑒-τ/τ.
С помощью (2.47) интегральное уравнение для определения функции 𝑆(τ) окончательно записывается в виде
𝑆(τ)
=
1
2
∞
∫
0
𝐸₁
|τ-τ'|
𝑆(τ')
𝑑τ'
.
(2.48)
Это интегральное уравнение называется уравнением Милна.
Уравнение (2.48) определяет функцию 𝑆(τ) с точностью до произвольного множителя, который находится из того условия, что задан поток излучения 𝐻=π𝐹.
Выразим поток излучения через функцию 𝑆(τ). Для этого надо подставить в формулу (2.21) выражения (2.42) и (2.43). Выполняя такие же преобразования, как и при получении уравнения (2.48), находим
𝐹
=
2
∞
∫
τ
𝑆(τ')
𝐸₂
(τ'-τ)
𝑑τ'
-
2
τ
∫
0
𝑆(τ')
𝐸₂
(τ-τ')
𝑑τ'
,
(2.49)
где 𝐸₂τ — вторая из интегральных показательных функций, определяемых равенством
𝐸
𝑛
τ
=
∞
∫
1
𝑒
-τ𝑥
𝑑𝑥
𝑥𝑛
.
(2.50)
Интегральное уравнение Милна рассматривалось многими авторами. Наиболее полное исследование принадлежит Хопфу, который нашёл, что точное решение этого уравнения имеет вид
𝑆(τ)
=
3
4
𝐹
⎡
⎣
τ
+
𝑞(τ)
⎤
⎦
(2.51)
где 𝑞(τ) — функция, монотонно изменяющаяся в небольших пределах между
𝑞(0)
=
1
√3
=
0,58
и
𝑞(∞)
=
0,71
.
Представляет интерес сравнение приближённых выражений для 𝑆(τ), полученных выше при помощи методов Шварцшильда — Шустера, Эддингтона и Чандрасекара (в первом приближении), с точной формулой (2.51). Эти приближённые выражения даются соответственно формулами (2.24), (2.33) и (2.40). Мы видим, что наибольшей точностью обладает формула (2.40). Значения функции 𝑆(τ), найденные по этой формуле при τ=0 и при больших τ, а именно
𝑆(0)
=
√3
4
𝐹
(2.52)
и
𝑆(τ)
=
3
4
𝐹τ
при
τ
≫
1
,
(2.53)
совпадают с точными значениями 𝑆(τ). Формула (2.33) даёт точные значения функции 𝑆(τ) лишь при τ≫1. Значения 𝑆(τ), полученные по формуле (2.24), отличаются от точных значений как при τ=0, так и при τ≫1.
5. Распределение яркости по диску звезды.
Рис. 3
Знание функции 𝑆(τ) позволяет определить интенсивность излучения на любой оптической глубине. В частности, мы можем найти интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величину 𝐼(0,θ). Очевидно, что интенсивность излучения, выходящего из фотосферы под углом θ к нормали, представляет собой яркость диска звезды на угловом расстоянии θ от центра диска (рис. 3). Поэтому величиной 𝐼(0,θ) даётся распределение яркости по диску звезды.
Чтобы найти величину 𝐼(0,θ), надо в формуле (2.42), дающей интенсивность излучения, идущего снизу вверх (т.е. при θ<π/2), положить τ=0. Делая это и заменяя переменную интегрирования τ' на τ, находим
𝐼(0,θ)
=
∞
∫
0
𝑆(τ)
𝑒
-τsecθ
secθ
𝑑τ
.
(2.54)
Выше были получены различные приближённые формулы для функции 𝑆(τ). Посмотрим, к какому распределению яркости по диску звезды приводит каждая из этих формул.
Пользуясь для функции 𝑆(τ) формулами (2.24), (2.33) и (2.40), полученными в приближениях Шварцшильда — Шустера, Эддингтона и в первом приближении Чандрасекара, соответственно находим
𝐼(0,θ)
=
𝐹
⎛
⎜
⎝
1
2
+
cosθ
⎞
⎟
⎠
,
(2.55)
𝐼(0,θ)
=
𝐹
⎛
⎜
⎝
1
2
+
3
4
cosθ
⎞
⎟
⎠
,
(2.56)
и
𝐼(0,θ)
=
𝐹
⎛
⎜
⎝
√3
4
+
3
4
cosθ
⎞
⎟
⎠
,
(2.57)
Для отношения яркости в центре диска к яркости на краю, т.е. для величины 𝐼(0,0)/𝐼(0,π/2), эти формулы соответственно дают: 3, 2,5 и 2,7. Как мы увидим ниже, точное значение этой величины равно 2,9.
Таким образом, яркость в центре диска значительно больше яркости на краю. Объясняется это тем, что в центре диска излучение выходит в среднем из более глубоких слоёв, чем на краю.
Приведённый выше теоретический закон распределения яркости по диску звезды в общем подтверждается наблюдательными данными. Эти данные получены в основном при изучении Солнца, так как дисков других звёзд мы не видим. Некоторые сведения о потемнении диска звезды при переходе от центра к краю даёт также анализ кривых изменения блеска затменных переменных. В этом случае одна звезда периодически закрывает другую и по свечению оставшейся не закрытой части диска звезды можно судить о распределении яркости по диску.
