𝐴(𝑦)
=
9α⁶ν₀
2¹⁰
ψ(𝑦)
,
(26.11)
где ν₀ — частота ионизации водорода и α=2π𝑒²/ℎ𝑐 — постоянная тонкой структуры, названные авторы получили для функции ψ(𝑦) значения, приведённые в табл. 40. Так как ψ(𝑦)=ψ(1-𝑦), то 𝑦 в таблице меняется только от нуля до ½. Энергия, излучаемая в единичном интервале частот, пропорциональна величине ℎν𝐴(𝑦) или 𝑦ψ(𝑦). Значения функции 𝑦ψ(𝑦) также даны в таблице. Эйнштейновский коэффициент двухквантового перехода 2𝑠→1𝑠 равен
𝐴
2𝑠,1𝑠
=
1
2
1
∫
0
𝐴(𝑦)
𝑑𝑦
=
8,227 с⁻¹
.
(26.12)
При помощи величины 𝐴(𝑦) можно легко написать выражение для объёмного коэффициента излучения εν, обусловленного двухквантовыми переходами. Обозначим через 𝑛2𝑠 число атомов водорода в состоянии 2𝑠 в 1 см³. Тогда, очевидно, имеем
4πε
ν
𝑑ν
=
𝑛
2𝑠
𝐴(𝑦)
𝑑𝑦
⋅
ℎν
,
или
ε
ν
=
𝑛
2𝑠
ℎ
4π
𝐴(𝑦)
𝑦
.
(26.13)
Чтобы найти величину 𝑛2𝑠, надо составить уравнение стационарности для состояния 2𝑠. Атомы водорода попадают в состояние 2𝑠 после рекомбинаций и последующих каскадных переходов. Обозначим через 𝑋 долю всех рекомбинаций на высокие уровни, начиная со второго, которые приводят к появлению атомов в состоянии 2𝑠. Тогда число переходов в состояние 2𝑠 в 1 см³ за 1 с будет равно
𝑋
𝑛
𝑒
𝑛⁺
∞
∑
2
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
.
Вычисления дают, что приблизительно 𝑋=0,32 (величина 𝑋 слабо зависит от электронной температуры). С другой стороны, атомы покидают состояние 2𝑠 вследствие двухквантовых переходов. Число таких переходов в 1 см³ за 1 с равно 𝑛2𝑠𝐴2𝑠,1𝑠. На основании сказанного получаем
𝑛
2𝑠
𝐴
2𝑠,1𝑠
=
𝑋
𝑛
𝑒
𝑛⁺
∞
∑
2
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
.
(26.14)
Подставляя величину 𝑛2𝑠 из (26.14) в (26.13), находим
ε
ν
=
𝑋
𝑛
𝑒
𝑛⁺
∞
∑
2
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
ℎ𝐴(𝑦)𝑦
4π𝐴2𝑠,1𝑠
.
(26.15)
По формуле (26.15) с помощью табл. 40 и может быть вычислена искомая величина εν.
Очевидно, что полное число квантов, излучаемых при двухквантовых переходах 2𝑠→1𝑠 в 1 см³ за 1 с, равно
2
𝑋
𝑛
𝑒
𝑛⁺
∞
∑
2
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
.
По порядку величины это число сравнимо с числом квантов, излучаемых при рекомбинациях. Поэтому двухквантовые переходы должны играть существенную роль в создании непрерывного спектра газовых туманностей.
Добавление выражения (26.15) к ранее полученному выражению (26.6) приводит к распределению энергии в непрерывном спектре, которое лучше согласуется с наблюдательными данными, чем распределение энергии, даваемое формулой (26.6). Однако прежде чем подробно сравнивать теорию с наблюдениями, мы ещё рассмотрим некоторые процессы, влияющие на интенсивность двухфотонного излучения.
3. Влияние столкновений.
Выше считалось, что все атомы, попавшие в метастабильное состояние 2𝑠, совершают из него спонтанный переход в состояние 1𝑠 с излучением двух квантов. Однако из состояния 2𝑠 возможны также переходы под действием столкновений. Вычисления показывают, что наиболее вероятными из них являются переходы в очень близкое к 2𝑠 состояние 2𝑝 (рис. 33), причём эти переходы вызываются в основном столкновениями с протонами. Затем атом из состояния 2𝑝 спонтанно переходит в состояние 1𝑠 с излучением Lα-кванта. Такие процессы приводят к уменьшению населённости уровня 2𝑠 по сравнению с найденной ранее, а значит, и к уменьшению интенсивности двухфотонного излучения.
Рис. 33
Вместе с тем в туманностях могут происходить и обратные процессы. Атом, попавший в состояние 2𝑝, вместо спонтанного перехода в состояние 1𝑠 с излучением Lα-кванта может под действием столкновения перейти в состояние 2𝑠, а затем и в состояние 1𝑠 с излучением двух квантов. С первого взгляда кажется, что такие процессы происходят крайне редко, так как переход 2𝑝→1𝑠 обладает очень большой вероятностью. Однако в действительности дело не обстоит так просто. В подавляющем большинстве случаев Lα-квант выходит из туманности не сразу по возникновении, а только после многократных рассеяний. Это приводит к сильному возрастанию длительности пребывания атома в состоянии 2𝑝. Можно считать, что в среднем она равна 𝑁/𝐴2𝑝,1𝑠, где 𝑁 — среднее число рассеяний Lα-кванта в туманности. Очевидно, что чем больше 𝑁, тем больше вероятность перехода 2𝑝→2𝑠 под действием столкновений и последующего двухквантового перехода 2𝑠→1𝑠.
Чтобы выяснить роль указанных процессов, мы должны принять их во внимание при определении населённости состояния 2𝑠. Напишем уравнения стационарности для состояний 2𝑠 и 2𝑝. Обозначая концентрации атомов в этих состояниях через 𝑛2𝑠 и 𝑛2𝑝, имеем
𝑛
2𝑠
⎛
⎝
𝐴
2𝑠,1𝑠
+
𝑏
2𝑠,2𝑝
⎞
⎠
=
𝑋𝑅
+
𝑛
2𝑝
𝑎
2𝑝,2𝑠
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
𝑛
2𝑝
⎛
⎜
⎝
𝐴2𝑝,1𝑠
𝑁
+
𝑎
2𝑝,2𝑠
⎞
⎟
⎠
=
(1-𝑋)𝑅
𝑛
2𝑠
𝑏
2𝑠,2𝑝
.
(26.16)
Здесь 𝑋𝑅 и (1-𝑋)𝑅 — числа атомов, попадающих соответственно в состоянии 2𝑠 и 2𝑝 после рекомбинаций и каскадных переходов в 1 см³ за 1 с, а
𝑅
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
∞
∑
2
𝐶
𝑖
.
Через 𝑛2𝑠𝑏2𝑠,2𝑝 обозначено число переходов 2𝑠→2𝑝 совершающихся под действием столкновений в 1 см³ за 1 с, а через 𝑛2𝑝𝑎2𝑝,2𝑠 — число обратных переходов. Вместо величины 𝐴2𝑝,1𝑠 мы написали величину 𝐴2𝑝,1𝑠/𝑁, чтобы приближённо учесть многократные рассеяния Lα-квантов в туманности.
Находя из уравнений (26.10) величину 𝑛2𝑠, получаем следующее выражение для искомого числа двухквантовых переходов:
𝑛
2𝑠
𝐴
2𝑠,1𝑠
=
𝑋 + 𝑎2𝑝,2𝑠
𝑁
𝐴2𝑝,1𝑠
1 + 𝑎2𝑝,2𝑠
