𝑆(τ)
=
𝑎𝑐
4π
𝑇⁴
.
(4.15)
Этой формулой и даётся связь температуры с оптической глубиной.
Если величина 𝑆(τ) найдена в приближении Эддингтона, то она определяется формулой (2.33). В этом случае получаем
𝑎𝑐
4π
𝑇⁴
=
𝑛𝐹
⎛
⎜
⎝
1
2
+
3
4
τ
⎞
⎟
⎠
.
(4.16)
Взяв для 𝑆(τ) точное выражение, даваемое формулой (2.50), находим
𝑎𝑐
4π
𝑇⁴
=
𝑛𝐹
3
4
⎡
⎣
τ
+
𝑞(τ)
⎤
⎦
.
(4.17)
Входящая в формулы (4.16) и (4.17) величина 𝑛𝐹 есть полный поток излучения в фотосфере. Его удобно представить как полный поток излучения абсолютно чёрного тела некоторой температуры 𝑇𝑒 т.е., основываясь на формуле (4.10), положить
𝑛𝐹
=
σ𝑇
4
𝑒
,
(4.18)
где σ=𝑎𝑐/4. Температура 𝑇𝑒 называется эффективной температурой звезды. Со светимостью звезды 𝐿 и её радиусом 𝑅 она связана соотношением
𝐿
=
4π
𝑅²
σ𝑇
4
𝑒
.
(4.19)
Подстановка (4.18) в формулы (4.16) и (4.17) даёт
𝑇⁴
=
𝑇
4
𝑒
⎛
⎜
⎝
1
2
+
3
4
τ
⎞
⎟
⎠
,
(4.20)
𝑇⁴
=
𝑇
4
𝑒
⎡
⎣
τ
+
𝑞(τ)
⎤
⎦
.
(4.21)
Полагая в полученных формулах τ=0, мы можем определить поверхностную температуру 𝑇₀. В приближении Эддингтона находим
𝑇₀
=
2⁻¹
/
⁴
𝑇
𝑒
=
0,841
𝑇
𝑒
.
(4.22)
Точная связь между 𝑇₀ и 𝑇𝑒 такова:
𝑇₀
=
⎛
⎜
⎝
√3
4
⎞¹/₄
⎟
⎠
𝑇
𝑒
=
0,811
𝑇
𝑒
.
(4.23)
Положив в тех же формулах 𝑇=𝑇𝑒, мы находим оптическую глубину, соответствующую эффективной температуре звезды. Она получается равной τ=²/₃ по формуле (4.20) и τ=0,64 по формуле (4.21).
3. Излучение, выходящее из фотосферы.
Чтобы определить поле излучения в фотосфере для разных частот, мы должны воспользоваться уравнением переноса излучения
cosθ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
α
ν
𝐼
ν
+
ε
ν
.
(4.24)
Полагая здесь
εν
αν
=
𝑆
ν
(4.25)
и вводя оптическую глубину в фотосфере в частоте ν
τ
ν
=
∞
∫
𝑟
α
ν
𝑑𝑟
,
(4.26)
вместо (4.24) получаем
cosθ
𝑑𝐼ν(τν,θ)
𝑑τν
=
𝐼
ν
(τ
ν
,θ)
-
𝑆
ν
(τ
ν
)
.
(4.27)
Интегрируя уравнение (4.27), можно найти интенсивность излучения на разных оптических глубинах. Для нас наибольший интерес представляет интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величина 𝐼ν(0,θ). Эта величина равна
𝐼
ν
(0,θ)
=
∞
∫
0
𝑆
ν
(τ
ν
)
𝑒
-τνsecθ
secθ
𝑑τ
ν
.
(4.28)
Формула (4.28) есть простое следствие уравнения переноса излучения. Воспользуемся теперь предположением о локальном термодинамическом равновесии. Сравнивая между собой формулы (4.25) и (4.1), мы видим, что при этом предположении
𝑆
ν
(τ
ν
)
=
𝐵
ν
(𝑇)
,
(4.29)
где 𝐵ν(𝑇) — интенсивность излучения абсолютно чёрного тела, даваемая формулой (4.2). Поэтому в случае локального термодинамического равновесия вместо (4.28) получаем
𝐼
ν
(0,θ)
=
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝑒
-τνsecθ
secθ
𝑑τ
ν
.
(4.30)
или
𝐼
ν
(0,θ)
=
2ℎν³
𝑐²
∞
∫
0
𝑒-τνsecθsecθ𝑑τν
𝑒ℎν/(𝑘𝑇)-1
(4.31)
Формула (4.31) даёт интенсивность излучения частоты ν, выходящего из звезды под углом θ к радиусу-вектору. Вместе с тем она даёт яркость диска звезды в частоте ν на угловом расстоянии θ от центра диска (см. § 2).
Величина 𝐼ν(0,θ) может быть найдена из наблюдений Солнца и затменных переменных. Из наблюдений других звёзд получается лишь величина, пропорциональная потоку излучения 𝐻ν с поверхности звезды. Точнее говоря, эти наблюдения дают освещённость от звезды, равную
ℰ
ν
=
𝐿ν
4π𝑟²
(4.32)
где ℰν — светимость звезды в частоте ν и 𝑟 — расстояние от звезды до наблюдателя. Но
ℰ
ν
=
4π𝑅²
𝐻
ν
,
(4.33)
где 𝑅 — радиус звезды. Поэтому имеем
ℰ
ν
=
⎛
⎜
⎝
𝑅
𝑟
⎞²
⎟
⎠
𝐻
ν
.
(4.34)
Таким образом, поток излучения 𝐻ν характеризует относительное распределение энергии в спектре звезды.
