Таким образом, интенсивность излучения при термодинамическом равновесии зависит только от частоты и температуры. Мы обозначим эту интенсивность через 𝐵ν(𝑇).
Применим к рассматриваемому случаю уравнение переноса излучения (1.11). Так как в данном случае 𝑑𝐼ν/𝑑𝑠=0, то из (1.11) следует
εν
αν
=
𝐵
ν
(𝑇)
.
(4.1)
Формулой (4.1) выражается закон Кирхгофа: при термодинамическом равновесии отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения равно интенсивности излучения, являющейся универсальной функцией от частоты и температуры.
Выражение для интенсивности излучения при термодинамическом равновесии впервые было найдено Планком. Формула Планка имеет вид
𝐵
ν
(𝑇)
=
2ℎν³
𝑐²
1
exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1
,
(4.2)
где ℎ — постоянная Планка и 𝑘 — постоянная Больцмана.
Как уже сказано, интенсивность излучения при термодинамическом равновесии не зависит от направления, т.е. излучение является изотропным. В этом случае, как следует из формулы (1.3), плотность излучения равна
ρ
ν
(𝑇)
=
4π
𝑐
𝐵
ν
(𝑇)
.
(4.3)
Поэтому при термодинамическом равновесии для плотности излучения ρν(𝑇) получаем
ρ
ν
(𝑇)
=
8πℎν³
𝑐³
1
exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1
.
(4.4)
Поток излучения при термодинамическом излучении, очевидно, равен нулю. Однако поток излучения, выходящего из упомянутой полости через малое отверстие, отличен от нуля. Для нахождения этого потока надо воспользоваться формулой (1.4) и принять во внимание, что интенсивность выходящего из полости излучения не зависит от направления, а излучение, входящее в полость, отсутствует. В результате для потока излучения 𝐻ν(𝑇) в этом случае получаем
𝐻
ν
(𝑇)
=
π𝐵
ν
(𝑇)
.
(4.5)
Заметим, что если излучение попадает в полость через малое отверстие, то оно в ней практически полностью поглощается. Можно сказать, что в этом случае мы имеем дело с абсолютно чёрным телом. Поэтому величина 𝐵ν(𝑇) называется часто интенсивностью излучения абсолютно чёрного тела.
Проинтегрировав выражение (4.4) по всем частотам, мы получаем полную плотность излучения при термодинамическом равновесии:
ρ(𝑇)
=
∞
∫
0
ρ
ν
(𝑇)
𝑑ν
=
8πℎ
𝑐³
∞
∫
0
ν³𝑑ν
exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1
,
(4.6)
или
ρ(𝑇)
=
𝑎𝑇⁴
,
(4.7)
где
𝑎
=
8π⁵𝑘⁴
15𝑐³ℎ³
.
(4.8)
Формула (4.7) выражает закон Стефана — Больцмана. Величина 𝑎 называется постоянной Стефана.
Интегрируя по всем частотам выражение (4.2), находим полную интенсивность излучения абсолютно чёрного тела
𝐵(𝑇)
=
𝑎𝑐
4π
𝑇⁴
.
(4.9)
Из (4.5) и (4.9) следует, что полный поток излучения, выходящего из абсолютно чёрного тела, равен
𝐻(𝑇)
=
σ𝑇⁴
,
(4.10)
где
σ
=
𝑎𝑐
4
.
(4.11)
2. Предположение о локальном термодинамическом равновесии звёздной фотосферы.
Поле излучения в фотосфере сильно отличается от поля излучения при термодинамическом равновесии. Это видно уже из того, что интенсивность излучения в фотосфере зависит от глубины и от направления. Поэтому не может быть и речи о наличии термодинамического равновесия в фотосфере в целом.
Даже условия в элементарном объёме фотосферы очень далеки от условий термодинамического равновесия (хотя бы вследствие неизотропности падающего на объём излучения). Однако излучение, поглощаемое элементарным объёмом, в сильной степени им перерабатывается. Как известно, такая переработка идёт в направлении установления термодинамического равновесия. Поэтому можно предположить, что в каждом месте фотосферы коэффициент излучения εν связан с коэффициентом поглощения αν таким же соотношением, как и при термодинамическом равновесии с некоторой температурой 𝑇, характерной для данного места. При этом температура определяется из того условия, что полное количество энергии, излучаемое элементарным объёмом, равно полному количеству энергии, поглощаемому этим объёмом, т.е. из условия лучистого равновесия.
Указанное предположение называется предположением о локальном термодинамическом равновесии звёздной фотосферы. Несомненно, что оно выполняется с большой точностью в глубоких слоях фотосферы. Вопрос же о том, в какой мере это предположение выполняется в поверхностных слоях звезды, довольно труден для теоретического рассмотрения. Некоторые заключения по этому вопросу могут быть сделаны на основе сравнения теории с наблюдениями (см. §6).
Предположение о локальном термодинамическом равновесии означает, что в звёздной фотосфере отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения даётся формулами (4.1) и (4.2), т.е.
εν
αν
=
2ℎν³
𝑐²
1
exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1
.
(4.12)
Формула (4.12) принадлежит к числу основных соотношений теории фотосфер (вместе с уравнением переноса излучения и уравнением лучистого равновесия).
Принятие предположения о локальном термодинамическом равновесии сильно упрощает теорию фотосфер. Без такого предположения расчёт поля излучения в фотосфере для разных частот был бы чрезвычайно трудным.
Как и раньше, мы сейчас допустим, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В этом случае зависимость температуры от оптической глубины получается в явном виде и расчёт поля излучения в фотосфере для разных частот выполняется совсем легко.
Если коэффициент поглощения не зависит от частоты, то формула (4.12) принимает вид
ε
ν
=
α
2ℎν³
𝑐²
1
exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1
.
(4.13)
Интегрируя (4.13) по всем частотам, получаем
ε
=
α
𝑎𝑐
4π
𝑇⁴
,
(4.14)
где принято во внимание (4.9). Как и в § 2, обозначим ε=α𝑆. Величина 𝑆 была найдена в теории лучистого равновесия как функция от оптической глубины τ. Поэтому имеем
