Подчеркнём, что в этом параграфе речь шла о полных (т.е. проинтегрированных по всему спектру) яркостях. Наблюдения же дают не только распределение по диску звезды полной яркости, но и распределение яркости в различных длинах волн. Вопрос о законе потемнения диска звезды при переходе от центра к краю в различных длинах волн будет рассмотрен ниже.
§ 3. Точное решение основных уравнений
1. Уравнение для резольвенты.
Приведённое выше интегральное уравнение Милна представляет собой частный случай уравнений, довольно часто встречающихся в астрофизике. Все эти уравнения имеют ядра, зависящие от абсолютного значения разности двух аргументов. Для решения таких уравнений был предложен сравнительно простой метод, который мы сейчас и изложим (см. [5]). Затем этот метод будет использован для получения точного решения задачи о переносе излучения через фотосферу звезды. В дальнейшем тем же методом будут решены другие астрофизические задачи (об образовании линий поглощения в звёздных спектрах, о рассеянии света в атмосферах планет и т.д.).
Рассмотрим интегральное уравнение
𝑆(τ)
=
∞
∫
0
𝐾
(|τ-τ'|)
𝑆(τ')
𝑑τ'
+
𝑔(τ)
,
(3.1)
определяющее функцию 𝑆(τ) (не совпадающую, вообще говоря, с введённой ранее функцией 𝑆(τ), но имеющую аналогичный физический смысл). Здесь 𝐾(|τ-τ'|) — ядро уравнения и 𝑔(τ) —функция, характеризующая распределение источников излучения в среде. Функции 𝐾(τ) и 𝑔(τ) являются заданными и для разных задач различными (с примерами мы познакомимся позднее).
Решение уравнения (3.1) может быть представлено в виде
𝑆(τ)
=
𝑔(τ)
+
∞
∫
0
Γ(τ,τ')
𝑔(τ')
𝑑τ'
,
(3.2)
где Γ(τ,τ') — резольвента, удовлетворяющая, как известно, уравнению
Γ(τ,τ')
=
𝐾
(|τ-τ'|)
+
∞
∫
0
𝐾
(|τ-τ''|)
Γ(τ'',τ')
𝑑τ''
.
(3.3)
При этом Γ(τ,τ') является симметричной функцией от τ и τ', т.е. Γ(τ,τ')=Γ(τ',τ).
Пользуясь уравнением (3.3), мы можем получить новое уравнение для резольвенты. Для этого перепишем (3.3) в виде
Γ(τ,τ')
=
𝐾(|τ-τ'|)
+
τ
∫
0
𝐾(α)
Γ(τ-α,τ')
𝑑α
+
+
∞
∫
0
𝐾(α)
Γ(τ+α,τ')
𝑑α
.
(3.4)
Дифференцируя (3.4) сначала по τ, затем по τ' и складывая почленно полученные равенства, находим
∂Γ
∂τ
+
∂Γ
∂τ'
=
𝐾(τ)
Γ(0,τ')
+
+
∞
∫
0
𝐾(|τ-τ''|)
⎛
⎜
⎝
∂Γ
∂τ
+
∂Γ
∂τ'
⎞
⎟
⎠
𝑑τ''
.
(3.5)
С другой стороны, из уравнения (3.3) имеем
Γ(0,τ)
=
𝐾(τ)
+
∞
∫
0
𝐾(|τ-τ''|)
Γ(τ'',0)
𝑑τ''
.
(3.6)
Сравнение (3.5) и (3.6) даёт
∂Γ
∂τ
+
∂Γ
∂τ'
=
Φ(τ)
Φ(τ')
,
(3.7)
где обозначено
Γ(0,τ)
=
Φ(τ)
.
(3.8)
Из (3.7) следует (при τ'>τ):
Γ(τ,τ')
=
Φ(τ'-τ)
+
τ
∫
0
Φ(α)
Φ(α+τ'-τ)
𝑑α
.
(3.9)
Таким образом, резольвента Γ(τ,τ') выражается через функцию Φ(τ), зависящую только от одного аргумента.
Для определения функции Φ(τ) может быть использовано уравнение
Φ(τ)
=
𝐾(τ)
+
∞
∫
0
𝐾(|τ-τ'|)
Φ(τ')
𝑑τ'
,
(3.10)
представляющее собой уравнение (3.6) при учёте (3.8). Другое уравнение для определения Φ(τ) будет получено ниже.
2. Вспомогательные уравнения.
Через функцию Φ(τ) выражается решение уравнения (3.1) при любой функции 𝑔(τ). Поэтому функция Φ(τ) должна играть фундаментальную роль в теории рассматриваемых уравнений. С целью определения этой функции мы сейчас получим некоторые вспомогательные уравнения. Вместе с тем, как мы увидим дальше, эти уравнения представят интерес и сами по себе.
Рассмотрим уравнение
𝑆(τ,𝑥)
=
∞
∫
0
𝐾(|τ-τ'|)
𝑆(τ',𝑥)
𝑑τ'
+
𝑒
-𝑥τ
,
(3.11)
являющееся частным случаем уравнения (3.1). На основании формулы (3.2) имеем
𝑆(τ,𝑥)
=
𝑒
-𝑥τ
+
∞
∫
0
Γ(τ',τ)
𝑒
-𝑥τ'
𝑑τ'
.
(3.12)
Умножая (3.7) на 𝑒-𝑥τ', интегрируя по τ' в пределах от 0 до ∞ и учитывая (3.12), получаем
∂𝑆(τ,𝑥)
∂τ
=-
𝑥𝑆(τ,𝑥)
+
Φ(τ)
⎡
⎢
⎣
1
+
∞
∫
0
Φ(τ')
𝑒
-𝑥τ'
𝑑τ'
⎤
⎥
⎦
.
(3.13)
Но из (3.12) следует
𝑆(0,𝑥)
=
1
+
∞
∫
0
Φ(τ)
𝑒
-𝑥τ
𝑑τ
.
(3.14)
Поэтому находим
∂𝑆(τ,𝑥)
∂τ
=-
𝑥𝑆(τ,𝑥)
+
𝑆(0,𝑥)
Φ(τ)
.
(3.15)
Интегрирование уравнения (3.15) даёт
𝑆(τ,𝑥)
=
𝑆(0,𝑥)
⎡
⎢
⎣
𝑒
-𝑥τ
+
τ
∫
0
𝑒
-𝑥(τ-τ')
Φ(τ')
𝑑τ'
⎤
⎥
⎦
.
(3.16)
В большинстве задач о переносе излучения ядро интегрального уравнения (3.1) представляется в виде
𝐾(τ)
=
𝑏
∫
𝑎
𝐴(𝑦)
𝑒
-𝑦τ
𝑑𝑦
,
(3.17)
где 𝐴(𝑦) — произвольная функция, 𝑎 и 𝑏 — некоторые числа. В этом случае для определения функции 𝑆(0,𝑥) получаются сравнительно простые уравнения. В свою очередь искомая функция Φ(τ) выражается через функцию 𝑆(0,𝑥).
Если 𝐾(τ) даётся формулой (3.17), то из уравнения (3.11) следует
𝑆(0,𝑥)
=
1
+
𝑏
∫
𝑎
𝐴(𝑦)
𝑑𝑦
∞
∫
0
𝑆(τ,𝑥)
𝑒
-𝑦τ
𝑑τ
